Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội - ĐỀ 13
Vui lòng cài đặt đề thi trước khi làm bài
Người ta trồng 144 cây trong một khu vườn hình tam giác theo quy luật như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, hàng thứ ba có 5 cây, …. Số hàng cây trong khu vườn là (1) ______.
Một công ty vận tải cung cấp dịch vụ tour du lịch tại một số địa điểm trong địa bàn thành phố Hồ Chí Minh. Bảng số liệu sau cho ta thông tin về giá vé xe buýt tại các điểm dừng chân trong tour du lịch này như sau:
Một du khách muốn tự mình trải nghiệm nên tự bắt xe đi ngẫu nhiên giữa các địa điểm như sau:
a) Bắt một chuyến xe đi từ địa điểm I đến một địa điểm bất kì. Khi đó, xác suất người đó phải trả dưới 20 000 đồng tiền vé xe buýt là _______.
b) Đi từ địa điểm I đến địa điểm III qua 1 trạm trung gian. Khi đó, xác suất người đó trả trên 25000 đồng tiền vé xe buýt là _______.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1)$. Biết M là điểm thỏa mãn $P=3MA^{2}+2MB^{2}-MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng (1) [...]
Trong âm học, mức cường độ âm L được cho bởi công thức:
(B là đơn vị mức cường độ âm), trong đó I là cường độ âm ($\text{W/m}^{2}$) và $I_{0}=10^{-12}\text{ W/m}^{2}$ là cường độ âm chuẩn.
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (Các số lựa chọn: 0, 10, 1, 0,138):
Mức cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được là _______ B.
Khi mức cường độ âm đạt đến ngưỡng đau (13B) thì cường độ âm là [...] $\text{W/m}^{2}$.
Cho:
Khi đó giá trị a là (1) [...]
Trong không gian Oxyz cho $M(3;1;1), N(4;3;4)$ và đường thẳng $d:\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-9}{1}$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
MN và d là hai đường thẳng song song với nhau.
Điểm $I\in d$ để $IM+IN$ nhỏ nhất có tọa độ $I\left(\frac{17}{3};\frac{17}{3};\frac{23}{3}\right)$.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;0), B(3;1;2), C(-1;2;1)$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{1}$. Mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng $\Delta$, đi qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) [...]
Cho khai triển $(1+2x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ thỏa mãn $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}+1$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (Các số lựa chọn: 5, 4, 32, 80):
Giá trị của n bằng [...]
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là [...]
Có (1) [...] tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^{3}}{x-2}-27$ song song với trục hoành.
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R thỏa mãn $f(x)=3f\left(\frac{x}{2}\right)$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên R thỏa mãn $F(4)=1$ và $2F(8)+5F(2)=0$. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
$F(x)=\frac{3}{2}F\left(\frac{x}{2}\right)$
$F(8)<0$
$\int_{0}^{2}f(3x+2)dx=6$
Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $\log_{5}(5^{a}\cdot 125^{b})=\log_{25}5$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (Các số lựa chọn: 6, -1, 0, 1):
Nếu $b=\frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực a bằng [...]
Mối liên hệ giữa a và b là $2a+6b=$ [...]
Nếu a là số nguyên âm thuộc [-10;-5] thì có [...] giá trị nguyên dương của b.
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn [-1;6] và có đồ thị là đường gấp khúc ABC như hình vẽ
Biết F là nguyên hàm của f thỏa mãn $F(-1)=-1$. Giá trị của $F(4)+F(6)$ bằng (1) [...]
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Cho biết góc giữa hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(A'B'C')$ bằng $60^{\circ}$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Khoảng cách giữa $A'B'$ và $BC$ bằng $\frac{3a}{4}$.
Khoảng cách từ $A'$ đến $\text{mp}(BCC'B')$ bằng $\frac{3a\sqrt{14}}{7}$.
Cho một cái hộp có nắp có dạng hình trụ có bán kính đáy là 10cm và khoảng cách giữa hai đáy là 56cm. Thả các quả bóng có dạng hình cầu vào trong hộp sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện ABCD.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Thể tích của hộp là $5600\pi\text{ cm}^{3}$.
Hộp đựng được tối đa 4 quả bóng.
Để diện tích $ABCD$ bằng $80\text{ cm}^{2}$ thì khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $(P)$ là $\frac{465}{49}\text{ cm}$.
Trả lời các câu hỏi sau:
Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là
Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là
Hàm số ... là hàm số chẵn
Hàm số _______ là hàm số lẻ.
Cho đa thức $f(x)=(1+3x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n} \quad (n\in \mathbb{N}^{*})$. Biết rằng $a_{1}+2a_{2}+...+na_{n}=49152n$ khi đó hệ số $a_3$ bằng (1) [...]
Cho $\lim_{x\rightarrow1}f(x) = 2, \lim_{x\rightarrow1}g(x) = -3$. Biết $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
$\lim_{x\rightarrow1}[f(x)+3g(x)]=-7$
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sin(1-x)}{x-1}=-1$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)\sin x}{x}=2$
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ cho bởi hình vẽ bên. Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x^{2}}{2} \quad \forall x\in \mathbb{R}$.
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (Có các số: 1,2,3)
Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x$ bằng [...]
Hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x$ bằng [...]
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S_{1})$ có tâm $I_{1}(1;0;1)$, bán kính $R_{1}=2$ và mặt cầu $(S_{2})$ có tâm $I_{2}(1;3;5)$, bán kính $R_{2}=1$. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $(S_{1}), (S_{2})$ lần lượt tại A và B. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (Các số lựa chọn: 5, 4, $2 \sqrt{6}$):
Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng [...]
Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng AB bằng [...]
Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào AB là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào AD là 125 mét.
Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào AB là 7 triệu đồng.
Diện tích khu đất lớn nhất bằng $5200\text{ m}^{2}$.
Cho hàm số $y=\frac{1-3x}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là các đường thẳng $x = 1$ và $y = 1$.
Đồ thị hàm số $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0; -1)$.
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I(1; -3)$.
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị liên tục trên đoạn $[-1;4]$ tạo thành một đường gấp khúc như hình vẽ.
Xét tích phân $I=\int_{-1}^{4}f(x)dx$.
Trên khoảng $(-1; 2)$, đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành nên $f(x) \ge 0$.
Giá trị của tích phân thành phần $\int_{-1}^{1}f(x)dx$ bằng $3$.
Giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{4}f(x)dx$ là một số nguyên dương.
Giá trị chính xác của tích phân $I=\int_{-1}^{4}f(x)dx$ bằng $\frac{5}{2}$.
Thầy Thắng muốn sau 5 năm có số tiền nợ/vốn tích lũy là 1 tỉ đồng để mua ôtô. Thầy gửi ngân hàng định kỳ mỗi tháng một số tiền như nhau vào ngày mùng một đầu tháng với lãi suất cố định là 0,5%/tháng, tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Đây là bài toán gửi tiết kiệm tích lũy định kỳ (hình thức tính lãi kép theo niên kim gửi đầu kỳ).
Trong suốt kỳ hạn 5 năm, thầy Thắng tiến hành gửi tiền tổng cộng 60 lần.
Công thức liên hệ để tính số tiền gửi cố định $M$ mỗi tháng là $10^9 = M \cdot \frac{(1+0,005) \cdot [(1+0,005)^{60} - 1]}{0,005}$.
Số tiền thầy Thắng phải gửi ngân hàng mỗi tháng gần nhất với giá trị 14 261 500 đồng.
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng có phương trình tương ứng là $(P): x+y+z-1=0$, $(Q): 2x+my+2z+3=0$ và $(R): -x+2y+nz=0$.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $\vec{n}_P = (1; 1; 1)$.
Để mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ thì giá trị của tham số $m = 2$.
Để mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(R)$ thì giá trị của tham số $n = 1$.
Khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $(P)//(Q)$ và $(P) \perp (R)$, tổng giá trị biểu thức $m+2n$ bằng $0$.
Số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 ở quốc gia X sau $t$ ngày khảo sát tuân theo quy luật hàm số mũ: $I(t)=A\cdot e^{r_{0}(t-1)}$. Ngày đầu tiên khảo sát ghi nhận có 500 ca và ngày thứ 10 khảo sát ghi nhận có 1000 ca nhiễm bệnh.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Số ca bị nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên tương ứng với hằng số $A = 500$.
Hệ số lây nhiễm $r_0$ trong suốt quá trình khảo sát thỏa mãn hệ thức tăng trưởng $e^{9r_0} = 2$.
Hệ số lây nhiễm $r_0$ được tính theo công thức $r_0 = \frac{\ln 2}{10}$.
Ngày thứ 20 của đợt dịch, số ca nhiễm bệnh được dự báo gần nhất với giá trị 2160 ca.
Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng lại hẳn sau 20 giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120 m. Biết công thức tính vận tốc của chuyển động biến đổi đều là $v=v_{0}+at$; trong đó a $(\text{m/s}^{2})$ là gia tốc, v $(\text{m/s})$ là vận tốc tại thời điểm t (s). Hãy tính vận tốc $v_{0}$ của xe lửa lúc bắt đầu hãm phanh.
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và $AB=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, $AC=a\sqrt{2}$, $CD=a$. Gọi E là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng:
Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó là
Cho $x=\frac{m}{n}$ với $m, n\in \mathbb{R}^{*}$, $(m,n)=1$. Biết ba số $\log_{3}x, -1, \log_{3}(81x)$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính $m+n$.
Số nghiệm của phương trình $\sin 5x+\sqrt{3}\cos 5x=2 \sin 7x$ trên khoảng $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ là:
Hình bên dưới bao gồm hình chữ nhật ABCD và hình thang vuông CDMN. Các điểm B, C, N thẳng hàng, $AB=CN=2\text{ dm}; BC=4\text{ dm}; MN=3\text{ dm}$. Quay hình trên xung quanh cạnh BN ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
Gọi (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $1\le|z-1|\le2$ trong mặt phẳng phức. Khi đó, diện tích hình (H) bằng:
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Biết ban đầu có m (gam) Poloni 210. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì khối lượng Poloni 210 còn lại bằng $\frac{1}{10}$ khối lượng ban đầu?
Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm.
Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo một diện tích trên bức tường phẳng bằng
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc, diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là $15\text{ m}^{2}$. Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước $30\times30\text{ (cm)}$. Tính số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp.
Cho hàm số $y=\frac{m \sin x+1}{\cos x+2}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn -1?
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;1;1), B(4;1;1), C(1;1;5)$. Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình $9z^{2}+6z+1-m=0$ có nghiệm phức thỏa mãn $|z|=1$. Tính S.
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, C'D', DD'$ (tham khảo hình vẽ).
Biết thể tích khối hộp bằng 144, thể tích khối tứ diện AMNP bằng
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P): 2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(Q): 2x-y-2z+10=0$ song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$ là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
