Megaedu.AI - Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 71)

Câu 1 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = 2AB = 2CD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) .

A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)

B. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{20}}\)

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{20}}\)

D. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\) .

Câu 2 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:

A. S = πa ²

B. \(S = \frac{{3\pi {a^2}}}{4}\)

C. S = 3πa ²

D. S = 12πa ² .

Câu 3 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = ln(x ³ – 3m ² x + 72m) xác định trên (0; +∞).

A. 10

B. 12

C. 6

D. 5

Câu 4 :

Số nghiệm của phương trình \({\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) là:

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2.

Lời giải :

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) (vì \(1 + \sqrt x > 1 \Rightarrow t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right) > 0\) )

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow {3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\) trên (0; +∞) có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{4}\\ = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2}\end{array}\)

Mà \({\rm{ln}}\frac{3}{4} < 0,{\rm{ln}}\frac{1}{2} < 0\) nên f’(t) < 0; ∀ t > 0

Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞)

Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2

Suy ra \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 5 :

Cho x; y > 0 và x ² + 4y ² = 12xy. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \({\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y\)

B. \(\log 2\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\)

C. \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1\)

D. \(4{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\) .

Câu 6 :

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \) . Điểm M di động trên BC sao cho \(\overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BC} \) . Tìm x sao cho độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\frac{4}{5}\)

B. \(\frac{5}{6}\)

C. \(\frac{6}{5}\)

D. \(\frac{5}{4}\) .

Lời giải :

Đáp án đúng là: B

Dựng hình bình hành AGCE. Ta có

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {ME} \)

Kẻ \(EF \bot BC,F \in BC \Rightarrow |\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} | = |ME| \ge EF\)

Do đó: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của P trên BC

Ta có: \(BP = 3PG = \frac{3}{4}BE\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}PQ \bot BC\\F{\rm{E}} \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow PQ//F{\rm{E}}\) nên \(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\) (hai góc đồng vị)

Xét ∆BPQ và ∆BEF có:

\(\widehat {EBF}\) là góc chung

\(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)

Do đó (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{{BP}}{{BE}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \) nên PQ là đường trung bình của tam giác AHC

Suy ra \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)

Ta có:

\(\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \Rightarrow x = \frac{5}{6}\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 7 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng:

A. \(\sqrt 2 \pi {a^3}\)

B. \(\frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\)

C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}\)

D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{2}\) .

Câu 8 :

Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn \({\log _2}\sqrt[6]{{360}} = \frac{1}{2} + a{\log _2}3 + b{\log _2}5\) . Khi đó tổng a + b có giá trị là:

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{1}{{18}}\)

D. \(\frac{1}{2}\) .

Câu 9 :

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 ^x = m có nghiệm thực:

A. m ≥ 1

B. m ≥ 0

C. m ≠ 0

D. m > 0.

Câu 10 :

Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x ² + (m ³ – 4m)x ≥ mln(x ² + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x?

A. 1

B. 3

C. Vô số

D. 2.

Câu 11 :

Tìm tập xác định D của hàm số y = (x ² – x – 2) ^-3 .

A. D = R

B. D = (0; +∞)

C. D = (–∞;–1) ∪ (2; +∞)

D. D = R \ {–1; 2}.

Câu 12 :

Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại. Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Tâm và Huy. Tính xác suất để hai bạn Tâm và Huy có phần thưởng giống nhau.

A. \(\frac{1}{{11}}\)

B. \(\frac{1}{{22}}\)

C. \(\frac{5}{{18}}\)

D. \(\frac{{19}}{{66}}\) .

Câu 13 :

Cho đa thức:

\(P\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^{2017}} + {\left( {3 - 2{\rm{x}}} \right)^{2018}} = {a_{2018}}{x^{2018}} + {a_{2017}}{x^{2017}} + ... + {a_1}x + {a_0}\)

Khi đó S = a ₂₀₁₈ + a ₂₀₁₇ + ... + a ₁ + a ₀ bằng:

A. 0

B. 1

C. 2018

D. 2017.

Câu 14 :

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) , biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. \(\frac{{{a^3}}}{3}\)

B. \(\frac{{{a^3}}}{9}\)

C. \[{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 \]

D. \(\frac{{{a^3}}}{2}\) .

Câu 15 :

Cho hình nón có bán kính đáy là 5a, độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

A. \(\frac{{4000\pi {a^3}}}{{81}}\)

B. \(\frac{{4000\pi {a^3}}}{{27}}\)

C. \(\frac{{40\pi {a^3}}}{9}\)

D. \(\frac{{400\pi {a^3}}}{{27}}\) .

Câu 16 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\)

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 71)

Trở thành Membership ngay

MEGA-AI phản hồi

Đăng nhập