Megaedu.AI - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Câu 1 :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,$ , nếu đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.$ thì

A. $I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

B. $I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

C. $I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx$

D. $I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g'\left( x \right)dx$

Câu 2 :

Để tính $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = xcosxdx}\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = cosx}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}cosx}\\{dv = dx}\end{array}} \right.$

Câu 3 :

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]\;$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2$ . Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx$ A.I=2

B.I=1

C.I=3

D.I=−1

Câu 4 :

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{2x}}\;$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.$ . Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx$

A. $I = 0.$

B. $I = - \,1.$

C. $I = 1.$

D. $I = 2.$

Lời giải :

Vì ${x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \smallint f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x = {x^2}.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.$ khi đó

$\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx = f(x){e^{2x}}\left| {_0^1} \right. - 2\int\limits_0^1 {f(x){e^{2x}}dx}$

Suy ra $I = {e^2}f(1) - f(0) - 2{x^2}\left| {_0^1} \right. = 2 - 0 - 2 = 0$

Vậy $I = 0$

Câu 5 :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3$ với $a,b,c \in R$ , tỉ số $\frac{c}{a}$ bằng

A.8.

B.9.

C.24.

D.36

Câu 6 :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$ , giá trị của m bằng :

A.2.

B.7.

C.4.

D.5.

Câu 7 :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}$ , tổng m+n

A.bằng 12.

B.bằng 10.

C.bằng 8.

D.bằng 6.

Câu 8 :

Tích phân: $I = \mathop \smallint \limits_1^e 2x(1 - \ln x)\,dx$ bằng

A. $\frac{{{e^2} - 1}}{2}$

B. $\frac{{{e^2} + 1}}{2}$

C. $\frac{{{e^2} - 3}}{4}$

D. $\frac{{{e^2} - 3}}{2}$

Câu 9 :

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x$

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{{3{e^2} + 1}}{4}$

C. $I = \frac{{{e^2} + 1}}{4}$

D. $I = \frac{{{e^2} - 1}}{4}$

Câu 10 :

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^{{2^{1000}}} \frac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx$

A. $I = - \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}} + \ln \frac{{{2^{1001}}}}{{1 + {2^{1000}}}}$

B. $I = - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}}$

C. $I = \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}} - 1001\ln \frac{2}{{1 + {2^{1000}}}}$

D. $I = \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} - \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}}$

Câu 11 :

Biết rằng $\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$ , trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

A. $- \frac{1}{{13}}$

B. $- \frac{5}{{13}}$

C. $\frac{5}{{13}}$

D. $\frac{1}{{13}}$

Câu 12 :

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} .f'\left( x \right)dx = 10$ và $2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$ Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx$

A.I=−12

B.I=8

C.I=12

D.I=−8

Câu 13 :

Cho hàm số y=f(x)thỏa mãn hệ thức $\Rightarrow \smallint f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \smallint {\pi ^x}.\cos xdx$ . Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:

A. $f\left( x \right) = - \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}$

B. $f(x) = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}$

C. $f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln \pi$

D. $f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln \pi$

Câu 14 :

Biết rằng $\mathop \smallint \limits_0^1 x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)$ với $a,b,c \in Z$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng

A. $a + b + c = 1$

B. $a - b + c = 0$

C. $a + 2b + c = 0$

D. $2a + b + c = - 1$

Câu 15 :

Giả sử tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.$ . Với phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Lúc đó :

A. $b + c = 127075$

B. $b + c = 127073$

C. $b + c = 127072$

D. $b + c = 127071$

Câu 16 :

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $n\ln n - \int\limits_1^n {\ln xdx}$ có giá trị không vượt quá 2017

A.2017

B.2018

C.4034

D.4036

Câu 17 :

Biết $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi$ , với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.

A.S=0

B.S=1

C. $S = \frac{1}{2}$

D. $S = \frac{3}{8}$

Câu 18 :

Biết tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. 0

Câu 19 :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^x}\sin x$ . Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn $I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + a}}{b}$

A. $a - b = - 1$

B. $a + b = 1$

C. $a + b = 2$

D. $a - b = 0$

Câu 20 :

Cho $I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5$ với $a,b,c \in \mathbb{Q}$ . Tính tổng a+b+c.

A.1

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $- \frac{1}{3}$

Câu 21 :

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ thỏa mãn: $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}$ và $f\left( 1 \right) = 5$ . Khi đó $\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx$ bằng:

A. $\frac{{32}}{{15}}$

B. $\frac{{86}}{{15}}$

C. $\frac{{ - 11}}{{15}}$

D. $\frac{{16}}{{15}}$

Câu 22 :

Nếu $\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5$ thì $I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx$ bằng:

A.−30

B.−50

C.15

D.25

Câu 23 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right],$ thỏa mãn $f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;$ và $\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2$ . Giá trị $2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx$ bằng

A.1.

B.−1.

C.−2.

D.2.

Câu 24 :

Cho hàm số f(x) có $f\left( 2 \right) = 0\;$ và $f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;$ . Biết rằng $\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:

A.250

B.251

C.133

D.221

Câu 25 :

Cho hàm số f(x) có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$ và $f\prime (x) = xsinx$ . Giả sử rằng $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}$ (với a,b,c là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó a+b+c bằng:

A.23

B.5

C.20

D.27

Câu 26 :

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = 2$ , ${\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2$ . Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx$

A.5+8ln2

B.3−8ln2

C.5−8ln2

D.7−8ln2

Câu 27 :

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}$ . Khi đó giá trị của $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}$ là:

A.3(1−e)

B.3e

C.0

D.3(e−1)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Trở thành Membership ngay

MEGA-AI phản hồi

Đăng nhập