Megaedu.AI - Mặt cầu và đường thẳng

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

A. R=4

B. R=2

C. $R = \pm 1$

D.R=1

Lời giải :

Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ $(\begin{matrix} x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2} \\ x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{matrix})$

(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép $\Leftrightarrow t^{2} + 1 = R^{2}$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow R^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

Lời giải :

Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = R^{2}$

Phương trình tham số của d là: $d : (\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{matrix})$

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

$(\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = R^{2} \\ x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{matrix}) (*)$

(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi ( ∗ ) có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} = R^{2}$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow 6 t^{2} + 2 = R^{2}$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow R^{2} = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và đường thẳng $d : x - 1 = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{3}$ . ( d ) cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A và B . Khi đó AB bằng:

A. $A B = \frac{\sqrt{126}}{7}$

b. $A B = \frac{\sqrt{123}}{7}$

c. $A B = \sqrt{\frac{126}{7}}$

d. $A B = \frac{\sqrt{129}}{7}$

Lời giải :

Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: $d : (\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 2 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \end{matrix})$

Giả sử A là giao điểm của (d) và (P) .

Vì $A \in d : (\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 2 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \end{matrix})$ nên ta có: $A (t + 1; 2 + 2 t; 4 + 3 t)$

Mặt khác $A \in (S)$ nên ta có

${(t + 1 - 1)}^{2} + {(2 + 2 t + 2)}^{2} + {(4 + 3 t - 3)}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow t^{2} + {(4 + 2 t)}^{2} + {(1 + 3 t)}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow 14 t^{2} + 22 t + 8 = 0$

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} t = - 1 \\ t = - \frac{4}{7} \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} A (0; 0; 1) \\ B (\frac{3}{7}; \frac{6}{7}; \frac{16}{7}) \end{matrix}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} + {(\frac{6}{7})}^{2} + {(\frac{16}{7})}^{2}} = \frac{\sqrt{126}}{7}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I (3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A , B mà AB =8 là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$

Lời giải :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $O y \Rightarrow H (0; - 2; 0)$

$\Rightarrow \vec{I H} = (- 3; 0; 0) \Rightarrow I H = 3$

Mặt khác ta có: $A H = \frac{A B}{2} = 4$

Suy ra $R^{2} = A H^{2} + H I^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$

(S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với $R^{2} = 25$

Suy ra: $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 16 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{2}$ . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S) .

A. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

B. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

C. $(P) : 2 x - 11 y + 10 z - 35 = 0$

D. $(P) : - 2 x + 2 y - z + 11 = 0$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ . Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d .

A. $5 \sqrt{2}$

B. $10 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $4 \sqrt{5}$

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $x = y = z$ . Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với $Δ$ là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - 6 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 2 z - 3 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 3 y + 5 z + 3 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 7 x - 2 z + 6 = 0$

Câu 8 :

Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 8 y + 2 z + 2 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2 y + z + 1 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 4 z + 4 = 0$

Câu 9 :

Xét đường thẳng d có phương trình $(\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 + 2 t \end{matrix})$ và mặt cầu ( S ) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4.$ Nhận xét nào sau đây đúng.

A. d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A , B và AB <2 R

B. d không có điểm chung với ( S )

C. d tiếp xúc với ( S )

D. d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A , B và AB đạt GTLN.

Câu 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu ( S ) qua trục Oz .

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

Câu 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{2}$ . Biết rằng mặt cầu ( S ) có bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng ( Oxz ) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I .

A. (1;−2;2), I (5;2;10)

B. I (1;−2;2), I (0;3;0)

C. I (5;2;10), I (0;−3;0)

D. I (1;−2;2), I (−1;2;−2)

Câu 12 :

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A (0;1;1), B (3;0;−1), C (0;21;−19) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\vec{O M}$ là

A. $\sqrt{110}$

B. $3 \sqrt{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{110}}{5}$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz .

A. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25.$

B. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

C. $(S) : {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20.$

d. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5.$

Câu 14 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ . Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu ( S ) tiếp xúc với đường thẳng nào.

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$

B. Trục Ox

C. Trục Oy

D. Trục Oz

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d : (\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{matrix})$ và $d' : (\begin{matrix} x = t' \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \end{matrix})$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d ′ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 2$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 4$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz . Hãy viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I (2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}

.

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2.$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24.$

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A (2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d . Viết phương trình mặt cầu ( C ) có tâm I và đi qua A .

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$

Câu 18 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = z$ . Mặt phẳng ( P ) vuông góc với Δ và tiếp xúc với ( S ) có phương trình là

A. $2 x - 2 y + z - 2 = 0$ và $2 x - 2 y + z + 16 = 0$

Câu 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d : (\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{matrix})$ và 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q ) lần lượt có phương trình $x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 7 = 0$ . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường thẳng d , tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ).

A. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ):2 x − y −2 z +1=0 và ba điểm A (1;−2;0), B (1;0;−1) và C (0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB , AC , BC ?

A. 4 mặt cầu

B. 2 mặt cầu.

C. 1 mặt cầu.

D. Vô số mặt cầu

Câu 21 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm E (2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong ( P ) và cắt ( S ) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là:

A. $(\begin{matrix} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{matrix})$

B. $(\begin{matrix} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{matrix})$

C. $(\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{matrix})$

D. $(\begin{matrix} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix})$

Câu 22 :

Trong không gian Oxyz , cho điểm S (−2;1;−2) nằm trên mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ . Từ điểm S kẻ ba dây cung SA , SB , SC với mặt cầu ( S ) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 60 ⁰ . Dây cung AB có độ dài bằng:

A. $2 \sqrt{6}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$

Câu 23 :

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ và $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $Δ$ . Gọi $Δ'$ là hình chiếu của $Δ$ lên mặt phẳng Oxy . Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $Δ'$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy . Tính giá trị biểu thức $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2}$ .

A. $P = 56$

B. $P = 9$

C. $P = 41$

D. $P = 73$

Mặt cầu và đường thẳng

Trở thành Membership ngay

MEGA-AI phản hồi

Đăng nhập