Đề thi thử học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 10

\(2018\sqrt {x + 2}  > 2019{x^2} + \frac{1}{{x - 2}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Để phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right) + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 5m - 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\ - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m < 0\end{array} \right.\,\end{array}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 4}}{{m + 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 4}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Ta có: \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 2\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2m + 4}}{{m + 1}} + \frac{{m + 4}}{{m + 1}} < 2\\ \Leftrightarrow \frac{{m + 6}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 6 < m <  - 1\end{array}\)

Kết hợp các điều kiện ta được \( - 6 < m <  - 1\) thỏa mãn bài toán.

+) Với \(m = 2\) HPT trở thành : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 2\\0 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5\) không có nghiệm duy nhất.

+) Với \(m > 2\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge m\\\left( {m - 2} \right)x \le 3m - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \le \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right.\)

HPT có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m + 3 = \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 3m - 3\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m < 2\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge m\\\left( {m - 2} \right)x \le 3m - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \ge \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \ge \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) HPT không có nghiệm duy nhất. 

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Có 6 phần tử là điểm cuẩ các em học sinh nên \({M_e} = \frac{{{x_3} + {x_4}}}{2} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos a - \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy D sai.

\(\begin{array}{l}M = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4} \\+ \sin x\cos \frac{\pi }{4} - \cos x\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\+ \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 0.\end{array}\)

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < a < \pi  \Rightarrow \cos a < 0\)

\( \Rightarrow \cos a =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} \)\( =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  =  - \sqrt {\frac{9}{{25}}}  =  - \frac{3}{5}\)

Ta có: \(0 < b < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin b > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin b = \sqrt {1 - {{\cos }^2}b} \\ = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{289}}}  = \sqrt {\frac{{225}}{{289}}}  = \frac{{15}}{{17}}\\ \Rightarrow \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\ = \frac{4}{5}.\frac{8}{{17}} - \frac{3}{5}.\frac{{15}}{{17}} =  - \frac{{13}}{{85}}.\end{array}\)

Đường thẳng \(d:\,\,x + 5y - 2019 = 0\) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,5} \right)\) làm VTPT và nhận các vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;\,\,1} \right) = \left( {5; - 1} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \) Đáp án A và B đúng.

Ta có: \(d:x + 5y - 2019 = 0\)\( \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{5}x + \frac{{2019}}{5}\) có hệ số góc là \(k =  - \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\)

Gọi I  là giao điểm của \({d_1},\,\,{d_2}\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ I  là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y - 4 = 0\\x + 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow I\left( {2;1} \right)\)

Để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm \( \Leftrightarrow I \in {d_3}\)

\( \Leftrightarrow 2m - \left( {2m - 1} \right) + 9m - 19 = 0\) \( \Leftrightarrow 9m - 18 = 0 \Leftrightarrow m = 2\)

\(\Delta \) cách đều 2 điểm \(A,\,\,B \Leftrightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = d\left( {B;\Delta } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| { - 2m - 4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \\\Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \left| { - 2m - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 =  - 2m - 1\\m + 2 = 2m + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m =  - 3\\m = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Ta có đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)

\( \Rightarrow R = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.1 - 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)

Theo đề bài, elip \(\left( E \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 12\\2b = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = c\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {6^2} = {b^2} + {c^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow {b^2} = 18\)

\( \Rightarrow \) Phương trình Elip \(\left( E \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{18}} = 1\)

Từ A kẻ 2 tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\)  với \(\left( C \right)\)

\(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {2; - 1} \right)\) bán kính \(R = 1\)

Tứ giác ABOC có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle A = \angle B = \angle C = {90^o}\\OB = OC = R\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) ABOC là hình vuông (dhnb).

\( \Rightarrow AC = OC = R = 1 \Rightarrow OA = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - m + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\) 

Vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.3 = 6.\)

Với \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \) Điểm biểu diễn góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ III

\( \Rightarrow \sin \alpha  < 0,\cos \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 7x + 6 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 6\\x < 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sin \alpha  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha \\ = \sin \alpha .\cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha .\sin \frac{\pi }{3}\\ = \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)  

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 1 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Oy tại một điểm có tung độ dương \( \Rightarrow b > 0.\)

Và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương \( \Rightarrow  - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow a < 0.\)

\( \Rightarrow ax + b > 0 \Leftrightarrow ax >  - b \Leftrightarrow x < \frac{{ - b}}{a}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right).\)

Đường thẳng \(2x - 4y + 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)\) làm VTPT

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_1}} \\
\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 1;2} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_1}}
\end{array}\)

Do đó các véc tơ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} \) đều là VTPT của đường thẳng.

Vậy chỉ có vecto \(\overrightarrow n  = \left( {2;\,4} \right)\) không là VTPT của đường thẳng đã cho.

Ta có: \(\cos \left( {\alpha  + 2\pi } \right) = \cos \alpha \)  

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6 < 0\\3x + 15 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 5 < x < 3\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 5;3} \right).\)

Dựa vào bảng số liệu ta thấy Mốt là 39.

Ta có : \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\)\( = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2}\)

Có: \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{{x - 1}}{2}\) và \(\frac{2}{{x - 1}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\\ \ge 2.\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}}  = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 3x - 2\\ - x - 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow  - 3 < x < 3\)

Lại có \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\)

Vậy có 5 nghiệm nguyên của hệ BPT

\(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.0 - 12.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{13}}{{13}} = 1\)

Ta có \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow A + B + C = {180^o}\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \left( {A + C} \right)\\ =  - \tan \left( {{{180}^0} - A - C} \right)\\ =  - \tan B\end{array}\)

Vậy B đúng

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| \)\(= 3MG\)

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của G trên d

Gọi \(d'\) là đường thẳng qua G vuông góc với d \( \Rightarrow d \cap d' = \left\{ M \right\}\)

d nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) là VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {n'}  = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của \(d'\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(d':\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - \frac{4}{3}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - \frac{5}{3} = 0\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 2y - \frac{5}{3} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{13}}{{15}} = a\\y = \frac{{19}}{{15}} = b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 5\left( {a + b} \right) = 5\left( { - \frac{{13}}{{15}} + \frac{{19}}{{15}}} \right) = 2\) 

Có 7 phần tử là điểm cuả các em học sinh nên \({M_e} = {x_4} = 6.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của \({\Delta _1}\) ; \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 4} \right)\) là VTPT của \({\Delta _2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right)\\ = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\\ = \frac{{\left| {1.2 - 2.4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4}  + \sqrt {4 + 16} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Elip \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tâm sai:

\(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}\) \( = \frac{{\sqrt {5 - 4} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy B sai

Đường tròn tâm \(I(3; - 1)\) và bán kính \(R = 2\) có phương trình là: \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm nằm trên trục Oy\( \Rightarrow I\left( {0;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn.

\( \Rightarrow \left( C \right)\) có phương trình dạng: \({x^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\)

Vì \(A,B \in \left( C \right)\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\9 + {\left( {1 - b} \right)^2} = c\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\9 + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1 + {\left( {2 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\\left( {1 - b - 2 + b} \right)\left( {1 - b + 2 - b} \right) + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\ - 3 + 2b + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{85}}{4}\\b =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow R = \sqrt c  = \frac{{\sqrt {85} }}{2}.\end{array}\)  

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IB}  = \left( { - 3;4} \right)\) 

d  là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại B \( \Rightarrow IB \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IB} \) là 1 VTPT của d

\( \Rightarrow \)  Phương trình d: \( - 3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 4y + 7 = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 9;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {3;9} \right)\)  là VTPT của đường thẳng AB

\( \Rightarrow AB:3\left( {x - 3} \right) + 9\left( {y + 1} \right) = 0\)  \( \Leftrightarrow 3x + 9y = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y = 0\)

Ta có đường thẳng \(\frac{{x - 7}}{{ - 1}} = \frac{{y + 5}}{5}\) có VTCP là  \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)\)

Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng trên nên nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)\) là VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( {--2;3} \right)\) và song song với đường thẳng \(\frac{{x - 7}}{{ - 1}} = \frac{{y + 5}}{5}\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}5\left( {x + 2} \right) - 9 < 2x - 2y + 7\\ \Leftrightarrow 5x + 10 - 9 < 2x - 2y + 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 < 0\end{array}\)

Ta có: \(3.2 + 2.3 - 6 = 6 > 0\) nên điểm \(\left( {2;3} \right)\) không thuộc miền nghiệm của BPT trên