Đề thi thử giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 12 online - Mã đề 01

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x3.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Ta có

   ∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

\(=x^2+1/2 \cos2x\\= x^2+1/2 (1-2\sin^2x) = x^2-\sin^2x+1/2\\= x^2+1/2 (2\cos^2x-1) = x^2+\cos^2x-1/2\)

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Vận tốc của vật bằng

\(v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}} = 3\ln \left( {t + 1} \right) + C\)

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Vậy chọn đáp án D.

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành \(\cos u.\frac{1}{4}du\).

Khi đó, \(\begin{array}{l}\int {\cos \left( {4x + 3} \right)dx = \int {\frac{1}{4}} } \cos u.du\\ = \frac{1}{4}\sin u + C = \frac{1}{4}\left( {\sin 4x + 3} \right) +C\end{array}\).

Vậy chọn C.

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫(4tan²x + 2tanx.cotx + cot²x)dx

= ∫ [4(tan²x + 1) + (cot²x + 1) - 1]dx

= 4tanx - cotx - x + C

Vậy chọn D.

Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)} } dx\\ = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{2} + b + c = 2\\\frac{a}{2} - b + c = 4\\a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow ab = - 1\end{array}\)

Vậy chọn C.

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

\(N\left( t \right) = \int {\frac{{4000}}{{1 + 0,5t}}dt = 8000\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + C} \)

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334.

Vậy chọn A.

Chọn đáp án B.

Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh

\(P = \int\limits_0^{10} {b\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {5 + 2t} \right)dx} = 150\)

Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.

Chọn đáp án C.

Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{2x.dx}\) có giá trị là:

Cách 1: \(I=\int\limits_{1}^{2}{2x.dx}=2.\int\limits_{1}^{2}{x.dx}=\left. \left( 2.\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{1}^{2}=3\).

Đáp án đúng là C.

Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1.

Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x+1}dx}\) có giá trị là:

Cách 1: \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x+1}dx}=\left. \left( \ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{1}=\ln 2\).

Đáp án đúng là A.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+\frac{x}{x+1} \right)dx}\) có giá trị là:

Ta có: \(I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+\frac{x}{x+1} \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+1-\frac{1}{x+1} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x-\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{1}^{2}=\frac{8}{3}+2-\ln 3-\left( \frac{1}{3}+1-\ln 2 \right)=\frac{10}{3}+\ln 2-\ln 3\)

Đáp án đúng là A.

Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm tra mà thôi.

Tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}+3x+2 \right)dx}\)có giá trị là:

Cách 1: \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}+3x+2 \right)dx}=\left. \left( \frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{-1}^{1}=4\).

Đáp án đúng là D.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+2x \right)dx}\) có giá trị là:

Cách 1: \(I=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+2x \right)dx}=\left. \left( -\frac{1}{x}+{{x}^{2}} \right) \right|_{1}^{2}=\frac{7}{2}\).

Đáp án đúng là B.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Tích phân \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}}dx}\) có giá trị là:

\(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}=\left. \left( \ln \left| x \right|-\frac{1}{x} \right) \right|_{e}^{{{e}^{2}}}=1+\frac{1}{e}-\frac{1}{{{e}^{2}}}\).

Đáp án đúng là D.

Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}\) có giá trị là:

Cách 1: \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=\left. \left( -\cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=1\).

Đáp án đúng là A.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:

\(\begin{array}{l}P = \int\limits_0^T {b\left( t \right)dt} = \int\limits_0^T {\left( {5 + 2t} \right)dx} = 5T + {T^2} = 14\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}T = - 7(loai)\\T = 2(nhan)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy chọn đáp án B.

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành :

ln x = 0 ⇔ x = 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\ln }^2}xdx} \\ = 2\pi \left( {{{\ln }^2}2 - 2\ln 2 + 1} \right)\)

Vậy cho·

Ta có: y' = 4

Phương trình tiếp tuyến với y = x² + 1 tại M(2;5) là: y = 4(x - 2) + 5 = 4x - 3.

Ta có x² + 1 = 4x - 3 => x = 2 khi đó diện tích hình phẳng cần tính là :

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^2 {|{x^2} - 4x + 4|dx} \\ = \int\limits_0^2 ({{x^2} - 4x + 4)dx}\\ = \left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x} \right]} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\end{array}\)

Vậy chọn C.

Xét phương án A:

\(\begin{array}{l}\int {\cot xdx = } \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \\ = \int {\frac{1}{{\sin x}}d\left( {\sin x} \right) = } \ln |\sin x| + C\end{array}\)

Do đó, phương án A đúng

F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b) thì ∫ f(x)dx = F(x) + C

Ô tô sẽ dừng lại khi v = 0 hay – 5t + 10 = 0 ⇒ t = 2

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn thì ô tô còn đi được số m là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt} \\ = \left. {\left[ {\frac{{ - 5{t^2}}}{2} + 10t} \right]} \right|_0^2 = 10\left( m \right)\end{array}\)

Vậy chọn C.

Ta có:

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{2xdx}=\left. \left( {{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=1\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{a}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)dx}=\left. \left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right) \right|_{1}^{2}=\frac{16}{3}\).

Đáp án đúng là C.

Ta có:

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+\sqrt{x+1} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}} \right) \right|_{0}^{1}\)

\(=-\frac{1}{6}+\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow a=-1,b=\frac{4}{3}\Rightarrow a-\frac{3}{4}b=-2\).

Đáp án đúng là B.

Ta có:

\(\begin{align} & {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi }{3}}{\left( \sin 3x+{{\cos }^{2}}x \right)dx}\\&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \sin 3x+\frac{1+\cos 2x}{2} \right)dx}\\&=\left. \left( -\frac{1}{3}\cos 3x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}} \\ & \Rightarrow a=-\frac{1}{3},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{4}\\&\Rightarrow 3a+2c+4c=1 \\\end{align}\)

Đáp án đúng là B.

Ta có:

\({{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=\left. \left( \cos x \right) \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\).

\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{a}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+x}dx}\)

\(=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+x}dx}\)

\(=\frac{1}{3}\left. \left( \ln \left| t \right| \right) \right|_{\frac{5}{8}}^{2}\)

\(=\frac{4}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 5\Rightarrow b=\frac{4}{3},c=-\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{b}{c}=-4\).

Đáp án đúng là B.

Để ba điểm A, B, M không thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AM} \) không cùng phương. 

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 6} \right);\;\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - 2;4} \right)\)

Do đó, hai vecto này không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, M₃ không thẳng hàng hay điểm M₃ không nằm trên đường thẳng AB.

Vậy chọn C.

Để ba điểm A, B,C lập thành ba đỉnh của 1 tam giác khi và chỉ khi ba điểm A, B,C không thẳng hàng hay hai vecto AB→; AC→ không cùng phương

Xét phương án B ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 6; - 4} \right);\;\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 4; - 1} \right)\)

Suy ra hai vecto này không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thằng hàng.

Từ giả thiết suy ra

\(\begin{array}{l}OA = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 2\\OB = \sqrt {{m^2} + {n^2} + {p^2}} = 3\end{array}\)

Do đó AB ≥ |OA - OB| = 1. Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB. Suy ra đáp án đúng là B.

Hai đáp án A, D sai do nhầm OA = x2 + y2 + z2 = 4; OB = m2 + n2 + p2 = 9

Đáp án C sai do nhầm với câu hỏi vectơ AB→ có độ dài lớn nhất