Đề thi thử giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 06

$3x - 3y + 4 = 0$$\Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)$$= \left( {1; - 1} \right)\,\, = k\left( {1; - 1} \right)$$\left( {k \ne 0,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)$

+) Với $k = 3$$\Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)$$\Rightarrow$ Đáp án B đúng.

+) Với $k =  - 2$$\Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( { - 2;2} \right)$$\Rightarrow$ Đáp án C đúng.

+) Với $k = 6$$\Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {6; - 6} \right)$$\Rightarrow$ Đáp án D đúng.  

Chọn A.

Gọi $M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_C} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_C} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} =  - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {1;\,\, - 1} \right)$

Ta có: $A\left( {2;\,\,1} \right)$, $M\left( {1;\,\, - 1} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;\,\, - 2} \right)$$\Rightarrow {\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$

Phương trình đường trung tuyến của tam giác $ABC$ vẽ từ $A$ đi qua $A\left( {2;\,\,1} \right)$ nhận ${\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$ là VTPT là :

$2.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$

Chọn D.

+) $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)$ bất phương trình trở thành:

$- 1 + 2 + 2\left( {1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)$$\Leftrightarrow  - 1 < 0$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình $- x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $\left( {1;\,\,1} \right)$.

+) $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)$ bất phương trình trở thành:

$- 4 + 2 + 2\left( {2 - 2} \right) < 2\left( {1 - 4} \right)$$\Leftrightarrow  - 2 <  - 6$ (vô lý)

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình $- x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)$ là nửa mặt phẳng không chứa điểm $\left( {4;\,\,2} \right)$.

+) $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,0} \right)$ bất phương trình trở thành:

$- 0 + 2 + 2\left( {0 - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right).0$$\Leftrightarrow  - 2 < 0$(thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình $- x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $\left( {0;\,\,0} \right)$.

+) $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - 1} \right)$ bất phương trình trở thành:

$- 1 + 2 + 2\left( { - 1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)$$\Leftrightarrow  - 5 < 0$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình $- x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $\left( {1;\,\, - 1} \right)$.

Chọn B.

Vì $M$ là điểm không thuộc các trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ và thuộc góc phần tư thứ hai của hệ trục độ $Oxy$ nên $\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  < 0$.

Chọn D.

${\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$$\Rightarrow {\vec n_1} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)$

${\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$$\Rightarrow {\vec n_2} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right)$

*) ${\vec n_1}$ và ${\vec n_2}$ không cùng phương $\Rightarrow {\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

*) ${\vec n_1}.{\vec n_2} = 0 \Rightarrow {\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ vuông góc$\Rightarrow$ Đáp án B đúng.

*) ${\vec n_1}$ và ${\vec n_2}$ cùng phương thì ${\vec n_1} = k{\vec n_2}\left( {k \ne 0} \right)$

+ Nếu $k = 1$ thì ${\vec n_1} = {\vec n_2}$$\Rightarrow {\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trùng nhau.

+ Nếu $k \ne 1$ thì ${\vec n_1} = k{\vec n_2}$$\Rightarrow {\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song.

$\Rightarrow$ Đáp án C sai (vì hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể song song với nhau hoặc trùng nhau)

*) ${\vec n_1}$ và ${\vec n_2}$ cùng phương thì ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trùng nhau hoặc song song với nhau. Kết hợp với điều kiện $M \in {\Delta _1} \Rightarrow M \in {\Delta _2}$ suy ra ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trùng nhau. $\Rightarrow$ Đáp án D đúng

Chọn C.

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 4x - 5 = 0$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + {y^2} = 9$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9$

$\Rightarrow \left( C \right)$ được viết dưới dạng: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9$

$\Rightarrow \left( C \right)$ có tâm $A\left( {2;\,\,0} \right)$ và bán kính $R = 3$.

$\Rightarrow$ Đáp án B và C đúng.

*) Nếu $x = 0$, $\left( C \right)$ trở thành:

${\left( {0 - 2} \right)^2} + {y^2} = 9$$\Leftrightarrow {y^2} = 5$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - \sqrt 5 \\y = \sqrt 5 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( C \right)$ cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt $\left( {0;\,\, - \sqrt 5 } \right)$ và $\left( {0;\,\,\sqrt 5 } \right)$

$\Rightarrow$ Đáp án A sai.

*) Nếu $y = 0$, $\left( C \right)$ trở thành:

${\left( {x - 2} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( C \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $\left( {5;\,\,0} \right)$ và $\left( { - 1;\,\,0} \right)$

$\Rightarrow$ Đáp án D đúng.

Chọn A.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x >  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\end{array}$

$\Rightarrow$ Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.$ có tập nghiệm là $S = \left( { - 3;\,\,2} \right)$.

Chọn D.

+) Thay $x = 1;\,\,y =  - 3$ vào đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\ - 3 =  - 4 + t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\end{array} \right.$(thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Điểm $N\left( {1;\,\, - 3} \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$

+) Thay $x = 3;\,\,y = 1$ vào đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 5\end{array} \right.$ (không thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Điểm $Q\left( {3;\,\,1} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$

+) Thay $x =  - 3;\,\,y = 1$ vào đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} - 3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 5\end{array} \right.$ (không thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Điểm $M\left( { - 3;\,\,1} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$

+) Thay $x = 1;\,\,y = 3$ vào đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\3 =  - 4 + t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 7\end{array} \right.$(không thỏa mãn)

$\Rightarrow$ Điểm $P\left( {1;\,\,3} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.$

Chọn A.

Hàm số $y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 }$ xác định khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5  \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {5 - \sqrt 5 } \right)x - 5\sqrt 5  \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow  - 5 \le x \le \sqrt 5 \end{array}$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 }$ là $D = \left[ { - 5;\,\,\sqrt 5 } \right]$.

$\Rightarrow a =  - 5;\,\,b = \sqrt 5$

$\Rightarrow M = a + {b^2} =$$\left( { - 5} \right) + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 0$

Chọn D.

+) Xét đáp án A

$\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\c > 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {a - b} \right)c < 0$$\Rightarrow ac - bc < 0$$\Rightarrow ac < bc$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B

$c < a < b$

Giả sử $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (trái với đề bài)

$\Rightarrow$ Đáp án B sai.

+) Xét đáp án C

$a < b$

Giả sử $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (trái với đề bài)

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

+) Xét đáp án D

$a < b$

Giả sử $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ (trái với đề bài)

$\Rightarrow$ Đáp án D sai.

Chọn A.

Ta có: $\angle AOM = {75^0},\,\,\angle MON = {180^0}$

$\Rightarrow$ Cung lượng giác có điểm đầu $A$ và điểm cuối $N$ có số đo bằng $- {105^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn B.

${\Delta _1}:\,\,2x - 5y + 15 = 0$$\Rightarrow {\vec n_{{\Delta _1}}} = \left( {2;\,\, - 5} \right)$

${\Delta _2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$$\Rightarrow {\vec u_{{\Delta _2}}} = \left( { - 2;\,\,5} \right)$$\Rightarrow {\vec n_{{\Delta _2}}} = \left( {5;\,\,2} \right)$

$\cos \left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right)$$= \cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_{{\Delta _1}}},\,\,{{\vec n}_{{\Delta _1}}}} \right)} \right|$$= \dfrac{{\left| {2.5 + \left( { - 5} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = 0$

$\Rightarrow \cos \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}$.

Chọn B.

$d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.3 + 4.\left( { - 1} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}$$= \dfrac{{15}}{5} = 3$

Chọn C.

Ta có :

$0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}$$\Rightarrow  - \pi  < \alpha  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2}$$\Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \pi } \right) < 0$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

$0 < \alpha  + \pi  < \dfrac{\pi }{2}$$\Rightarrow \pi  < \alpha  + \pi  < \dfrac{{3\pi }}{2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\\\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{tan}}\left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\\\cot \left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Đáp án B và D đúng ; Đáp án C sai.

Chọn C.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \le 0\\{x^2} - 1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 1 \le x \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$.

Chọn A.

*) Xét đáp án A

+) $x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2$

+) ${x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\x \le 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x \le 2$

Vậy cặp bất phương trình $x - 2 \le 0$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0$ tương đương.

*) Xét đáp án B

+) $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$

+) ${x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \ge 2\end{array} \right.$

Vậy cặp bất phương trình $x - 2 \ge 0$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0$ không tương đương.

*) Xét đáp án C

+) $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$

+) ${x^2}\left( {x - 2} \right) > 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$

Vậy cặp bất phương trình $x - 2 < 0$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) > 0$ không tương đương.

*) Xét đáp án D

+) $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$

+) ${x^2}\left( {x - 2} \right) < 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x < 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < 2\end{array} \right.$

Vậy cặp bất phương trình $x - 2 < 0$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) < 0$ không tương đương.

Chọn A.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| \ge \left| {x - 2} \right| + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {\left| {x - 2} \right| + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {x - 2} \right)^2} + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge {x^2} - 4x + 4 + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow 2x + 1 + 4x - 4 - 9 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6x - 12 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}$

$\Rightarrow x \in \left[ {2;\,\, + \infty } \right)$

Vậy  tập nghiệm của bất phương trình $\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3$ là $S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)$.

Chọn A.

Gọi $I\left( {a;\,\,b} \right)$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AI = BI\\BI = CI\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4b = 0\\8a - 8b = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow I\left( {2;\,\, - 2} \right)$, $R = AI = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}$$= \sqrt {10}$

Phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ có tâm $I\left( {2;\,\, - 2} \right)$ và $R = \sqrt {10}$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10$

Chọn C.

Bất phương trình $\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}  < x + 1$ xác định khi và chỉ khi :

 $\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 1\end{array} \right.$

Vậy $D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Chọn D.

Bất phương trình: $\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, tập nghiệm của bất phương trình $\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0$ là $S = \left( { - 4;\,\,1} \right)$.

$\Rightarrow a =  - 4;\,\,b = 1$

$\Rightarrow b - a = 1 - \left( { - 4} \right) = 5$

Chọn C.

Áp dụng công thức: ${\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1$ 

$\Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha$$= 1 - {\left( {\dfrac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{169}}$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \dfrac{5}{{13}}\\\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\end{array} \right.$

Mà $\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ nên $\cos \alpha  < 0$, do đó $\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}$.

Chọn C.

${d_1}:\,\,5x - 3y + 5 = 0$$\Rightarrow {\vec n_1} = \left( {5;\,\, - 3} \right)$

${d_2}:\,\,3x + 5y - 2 = 0x$$\Rightarrow {\vec n_2} = \left( {3;\,\,5} \right)$

$\Rightarrow {\vec n_1}\,.\,\,{\vec n_2}$$= 5.3 + \left( { - 3} \right).5$$= 0$

$\Rightarrow {d_1}$ vuông góc ${d_2}$.

Chọn B.

+) $m = 0$, bất phương trình trở thành: $0x > 3 \Leftrightarrow 0 > 3$ (vô lý)

$\Rightarrow$ Bất phương trình vô nghiệm khi $m = 0$.

+) $m \ne 0$, ta có: $mx > 3 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{m}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của BPT là $S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)$.

Kết luận:

+ Với $m = 0$: Bất phương trình vô nghiệm

+ Với $m \ne 0$: Bất phương trình có tập nghiệm là $S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)$.

Chọn C.

${x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu:

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - x - 12 \le 0$ là $S = \left[ { - 3;\,\,4} \right]$.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}$.

Vậy bất phương trình có $8$ nghiệm nguyên.

Chọn A.

+) Xét đáp án A: ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0$

Ta có: $a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = 2$$\Rightarrow {a^2} + {b^2} = c\left( {ktm} \right)$

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0$ không phải là phương trình của một đường tròn.

+) Xét đáp án B: ${x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0$

Ta có: $a = 0,\,\,b = 3,\,\,c = 0$$\Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)$

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0$ là phương trình đường tròn có tâm $I\left( {0;\,\,3} \right),\,\,R = \sqrt 5$.

+) Xét đáp án C: $2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0$

Ta có: $a = 0,\,\,b = 0,\,\,c =  - 8$$\Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)$

$\Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0$ là phương trình đường tròn có tâm $I\left( {0;\,\,0} \right),\,\,R = 2$.

+) Xét đáp án D: $2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0$

Ta có: $a = 4,\,\,b = 1,\,\,c = 2$$\Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)$

$\Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0$ là phương trình đường tròn có tâm $I\left( {2;\,\,\dfrac{1}{2}} \right),\,\,R = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$.

Chọn A.

ĐKXĐ: $x \ne 2$

$\begin{array}{l}\,\dfrac{3}{{2 - x}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2 - x}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 2 + x}}{{2 - x}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + x}}{{2 - x}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + x > 0\\2 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 + x < 0\\2 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x <  - 1\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ $\Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)$.

Chọn C.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {2x - 3} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow  - 1 \le 2x - 3 \le 1\\ \Leftrightarrow 2 \le 2x \le 4\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\end{array}$

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}$.

Tổng bình phương các nghiệm của bất phương trình là: ${1^2} + {2^2} = 5$

Chọn B.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b$

+) $d$ có hệ số góc $k =  - 2$ nên $a =  - 2$ $\left( 1 \right)$  

+) $d$ đi qua $A\left( {3;\,\, - 2} \right)$ nên ta có: $- 2 = 3a + b$ $\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right)$vào $\left( 2 \right)$ta được: $- 2 = 3.\left( { - 2} \right) + b \Leftrightarrow b = 4$

$\Rightarrow$ PTTQ của đường thẳng $d$ có dạng :

 $y =  - 2x + 4$$\Leftrightarrow  - 2x - y + 4 = 0$

$\Rightarrow {\vec n_d} = \left( { - 2; - 1} \right)$$\Rightarrow {\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)$

$\Rightarrow$ PTTS của đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {3;\,\, - 2} \right)$ nhận ${\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)$ là VTCP có dạng là :  $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 - 2t\end{array} \right.$

Chọn B.

$f\left( x \right) = 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow {x^2} - bx + 3 = 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} - 12 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 3 \\b \le  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Rightarrow b \in \left( { - \infty ;\,\, - 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;\,\, + \infty } \right)$

Chọn A.

Tam giác đều có góc ở đỉnh là ${60^0}$ nên góc ở tâm là ${120^0}$ tương ứng $\dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn D.

Theo đề bài: $\tan \alpha  = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2$$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 4$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 4{\cos ^2}\alpha$

Ta lại có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Rightarrow 5{\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{5}$$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

$P = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha$$= \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}$

Vậy $P =  - \dfrac{3}{5}$ khi $\tan \alpha  = 2$.

Chọn C.

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {\left( {x + 1} \right)^2}\\x - m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {x^2} + 2x + 1\\x < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < m\end{array} \right.$

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m > 1$.

Kết hợp với điều kiện $m < 2019,\,\,m \in \mathbb{Z}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\1 < m < 2019\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3; \ldots ;\,\,2018} \right\}$.

Vậy có $2017$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn B.

$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\, > 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.$.

Chọn C.

Lấy $A\left( {1;\,\,0} \right) \in {\Delta _1}:\,\,3x + 2y - 3 = 0$.

$d\left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right)$$= \dfrac{{\left| {3.1 + 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }}$$= \dfrac{5}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{{13}}$

Chọn D.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0 \le x \le 4$

Đặt $t = \sqrt x  + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\Rightarrow {t^2} = x + 2.\sqrt x .\sqrt {4 - x}  + 4 - x$

$\Leftrightarrow {t^2} = 2\sqrt {x\left( {4 - x} \right)}  + 4$$= 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4$

Bất phương trình trở thành:

$t + {t^2} - 4 \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 3\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $t \ge 2$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4 \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x - {x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\end{array}$

$\Rightarrow x \in \left[ {0;\,\,4} \right]$$\Rightarrow a = 0;\,\,b = 4$

Thay $a = 0,\,\,b = 4$ vào biểu thức $P = {a^{2019}} + {b^{2019}}$ ta được: $P = {0^{2019}} + {4^{2019}}$$= {\left( {{2^2}} \right)^{2019}} = {2^{4038}}$

Chọn B.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2\\x \ge 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x \ge 3$

$\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow x - 1 > x - 2 + x - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}  < 4 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x > 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\\4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) < {\left( {4 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\4{x^2} - 20x + 24 < 16 - 8x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\3{x^2} - 12x + 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\3 \le x < 4\end{array} \right.\\\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3} < x < \dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};2} \right] \cup \left[ {3;\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array}$

Mà $x \in {\mathbb{Z}^ + }$ và $x \ge 3$ nên $x = 3$.

Chọn B.

Với $\alpha  \in \mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}P = \cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha  - \pi } \right)\\P = \cos \left[ { - \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right] + \sin \left[ { - \left( {\pi  - \alpha } \right)} \right]\\P = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\\P = \sin \alpha  - \sin \alpha \\P = 0\end{array}$

Vậy $P = 0$.

Chọn D.

$\begin{array}{l}\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu:

$\Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {1;\,\,2} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)$

Giá trị nguyên âm lớn nhất của $x$ là $- 3$.

Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $x$ là $3$.

$\Rightarrow$ Tích của chúng là $3.\left( { - 3} \right) =  - 9$.

Chọn D.

Quan sát đồ thị, ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác $OABCD$).

Khi đó, ta có các đỉnh $O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {1;\,\,0} \right),\,\,B\left( {4;\,\,3} \right),$$C\left( {2;\,\,4} \right),\,\,D\left( {0;\,\,4} \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;\,\,0} \right) = 0\\F\left( {1;\,\,0} \right) = 1\\F\left( {4;\,\,3} \right) = 10\\F\left( {2;\,\,4} \right) = 10\\F\left( {0;\,\,4} \right) = 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow M = 10\end{array}$

Chọn A.

Vì $I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a > 0$ thuộc đường thẳng ${d_1}$ nên $I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right)$.

Khoảng cách từ $I\left( { - a;\,\,3a - 1} \right)$ đến đường thẳng ${d_2}:\,\,x + y - 2 = 0$ là:

$d\left( {I,\,\,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| { - a - 3a - 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$$= \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}$

$I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right),\,\,A\left( {2;\,\, - 1} \right)$$\Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}}$

Vì đường tròn $\left( I \right)$ đi qua $A\left( {2;\,\, - 1} \right)$ nên $IA = d\left( {I,\,\,{d_2}} \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}}  = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + a} \right)^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 4 + 4a + {a^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 8 + 8a + 20{a^2} = 16{a^2} + 24a + 9\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16a - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\a = \dfrac{{4 - \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2} \in \left( {4;\,\,5} \right)\end{array}$

Chọn B.