Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án

Chọn B

Gọi M(x;y), I(3;4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i. Từ giả thiết $\left(z-3-4i\right)=1\Rightarrow MI=1$

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3;4), bán kính r = 1.

Mặt khác $\left(z\right)=OM$ . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3;4), bán kính r. Hay $M\left(\frac{18}{5};\frac{24}{5}\right)$

Gọi $F_1\left(-3;0\right),F_2\left(3;0\right)$ có trung điểm là O(0;0). Điểm M  biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến thì ${\left(z\right)}^2=O{M}^2=\frac{M{F_1}^2+M{F_2}^2}{2}-\frac{F_1{F_2}^2}{4}$

Ta có $M{F_1}^2+M{F_2}^2\ge \frac{{\left(M{F_1}^2+M{F_2}^2\right)}^2}{2}=50$

Đẳng thức xảy ra khi

$\left(\begin{array}{c}M{F}_1=M{F}_2\\ M{F}_1+M{F}_2=10\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}M\left(-4;0\right)\\ M\left(4;0\right)\end{array}\right)\Rightarrow \min \left(z\right)=\sqrt{\frac{50}{2}-\frac{36}{4}}=4$

Khi z = 4i  hoặc z = -4i

Chọn D

Gọi A(0;-1), B(0;1) đoạn thẳng AB  có trung điểm O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến ${\left(z\right)}^2=O{M}^2=\frac{M{A}^2+M{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{4}$

Theo giả thiết $4MA+3MB=10$ . Đặt $MA=a\Rightarrow MB=\frac{10-4a}{3}$

Khi đó $\left(MA-MB\right)=\frac{\left(10-7a\right)}{3}\le AB=2\Rightarrow -6\le 10-7a\le 6\iff \frac{4}{7}\le a\le \frac{16}{7}$

Ta có $M{A}^2+M{B}^2=a^2+{\left(\frac{10-4a}{3}\right)}^2=\frac{{\left(5a-8\right)}^2+36}{9}$

Do $-\frac{36}{7}\le 5a-8\le \frac{24}{7}\Rightarrow 0\le {\left(5a-8\right)}^2\le \frac{576}{49}$ nên

$\left(\begin{array}{c}M{A}^2+M{B}^2\ge 4\\ M{A}^2+M{B}^2\le \frac{260}{49}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\left(z\right)\ge 1\\ {\left(z\right)}^2\le \frac{81}{49}\Rightarrow \left(z\right)\le \frac{9}{7}\end{array}\right)$

Đẳng thức $\left(z\right)=1$ khi $z=\pm \frac{24}{25}+\frac{7}{25}i$ . Đẳng thức $\left(z\right)=\frac{9}{7}$ khi $z=\frac{9}{7}i$

Chọn D

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow \bar{z}=x-yi$

Gọi $F_1\left(-2;0\right),F_2\left(2;0\right),M\left(x;y\right),N\left(x;-y\right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $-2;2;z;\bar{z}$

Do M, N là điểm biểu diễn số phức $z$ và $\bar{z}$ nên suy ra M, N  đối xứng nhau qua Ox.

Khi đó $S_{\Delta OMN}=\left(xy\right)$

Ta có $F_1{F}_2=2c=4\Rightarrow c=2$ . Theo giả thiết ta có $M{F}_1+M{F}_2=4\sqrt{2}$ , tập hợp điểm M  thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn $2a=4\sqrt{2}\Rightarrow a=2\sqrt{2}$ ; trục bé $2b=2\sqrt{a^2-c^2}=2\sqrt{8-4}=4\Rightarrow b=2$

Nên elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

Do đó $1=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}\ge 2\sqrt{\frac{x^2}{8}.\frac{y^2}{4}}=\frac{\left(xy\right)}{2\sqrt{2}}\Rightarrow S_{\Delta OMN}=\left(xy\right)\le 2\sqrt{2}$