Megaedu.AI - Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án

Câu 1 :

Tất cả các nghiệm phức của phương trình

z^{2} + 5 = 0

là

A. $\pm 5$

B. $\pm 5 i$

C. $\pm \sqrt{5} i$

D. $\pm \sqrt{5}$

Lời giải :

Chọn C

Ta có phương trình: $z^{2} + 5 = 0 \Leftrightarrow z^{2} = - 5 \Leftrightarrow z^{2} = 5 i^{2} \Leftrightarrow (\begin{matrix} z = \sqrt{5} i \\ z = - \sqrt{5} i \end{matrix})$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là

z_{1} = \sqrt{5} i

và

z_{2} = - \sqrt{5} i

Câu 2 :

Gọi z ₁ , z ₂ là hai nghiệm của phương trình

2 z^{2} + z + 1 = 0

. Giá trị của biểu thức

A = {(z_{1})}^{2} + {(z_{2})}^{2}

là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Câu 3 :

Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình

z^{2} + 1 = z (z \in ℂ)

?

A. $\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$

B. $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1 + \sqrt{2} i}{2}$

Lời giải :

Chọn A

Ta có

$z^{2} + 1 = z (z \in ℂ) \Leftrightarrow z^{2} - 2. z . \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3 i^{2}}{4} \Leftrightarrow (\begin{matrix} z - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} i}{2} \\ z - \frac{1}{2} = \frac{- \sqrt{3} i}{2} \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} z = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} \\ z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{2} \end{matrix})$

Câu 4 :

Phương trình

z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)

có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

A. 31

B. 5

C. 19

D. 29

Lời giải :

Chọn C

Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên ta có:

${(3 + 4 i)}^{2} + a (3 + 4 i) + b = 0 \Leftrightarrow (3 a + b - 7) + (4 a + 24) i = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} 3 a + b - 7 = 0 \\ 4 a + 24 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = - 6 \\ b = 25 \end{matrix})$

Do đó a + b = 19

Cách 2: Vì $z_{1} = 3 + 4 i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên $z_{2} = 3 - 4 i$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có $(\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1} . z_{2} = b \end{matrix})$

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} (3 + 4 i) + (3 - 4 i) = - a \\ (3 + 4 i) (3 - 4 i) = b \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = - 6 \\ b = 25 \end{matrix}) \Rightarrow a + b = 19$

Câu 5 :

Gọi

z_{0}

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

z^{2} + 6 z + 34 = 0

. Giá trị của

(z_{0} + 2 - i)

là

A. $\sqrt{17}$

B. 17

C. $2 \sqrt{17}$

D. $\sqrt{37}$

Lời giải :

Ta có $Δ' = - 25 = {(5 i)}^{2}$ . Phương trình có hai nghiệm là $z = - 3 + 5 i; z = - 3 - 5 i$

Do đó $z_{0} = - 3 + 5 i \Rightarrow (z_{0} + 2 - i) = (- 1 + 4 i) = \sqrt{17}$

Câu 6 :

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

A. P(3;2)

B. N(1;-2)

C. Q(3;-2)

D. M(1;2)

Lời giải :

Chọn A

Ta có $z^{2} - 2 z + 5 = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} z = 1 + 2 i \\ z = 1 - 2 i \end{matrix})$

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn $z_{1} = 1 - 2 i$ . Khi đó:

$\frac{7 - 4 i}{z_{1}} = \frac{7 - 4 i}{1 - 2 i} = \frac{(7 - 4 i) (1 + 2 i)}{1^{2} + 2^{2}} = 3 + 2 i$

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3;2)

Câu 7 :

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 5 = 0

. Giá trị của biểu thức

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}

bằng

A. $2^{1009}$

B. $2^{1010}$

C. 0

D. $- 2^{1010}$

Câu 8 :

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 2 z + 5 = 0

. Giá trị của biểu thức

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

bằng

A. 14

B. -9

C. -6

D. 7

Câu 9 :

Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i ?

A. $z^{2} - 2 z + 3 = 0$

B. $z^{2} + 2 z + 5 = 0$

C. $z^{2} - 2 z + 5 = 0$

D. $z^{2} + 2 z + 3 = 0$

Câu 10 :

Kí hiệu z ₁ , z ₂ là nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} + 4 z + 3 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $P = (z_{1} z_{2} + i (z_{1} + z_{2}))$

A. $P = 1$

B. $P = \frac{7}{2}$

C. $P = \sqrt{3}$

D. $P = \frac{5}{2}$

Câu 11 :

Gọi z _1, z ₂ là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 7 = 0

. Giá tị của

P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}

bằng

A. -20

B. 20

C. $14 \sqrt{7}$

D. $28 \sqrt{7}$

Câu 12 :

Gọi z ₁ và z ₂ là hai nghiệm phức của phương trình

3 z^{2} - 2 z + 27 = 0

. Giá trị của

z_{1} (z_{2}) + z_{2} (z_{1})

bằng

A. 2

B. 6

C. $3 \sqrt{6}$

D. $\sqrt{6}$

Câu 13 :

Cho số thực a > 2 và gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 2 z + a = 0

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $z_{1} + z_{2}$ là số thực

B. $z_{1} - z_{2}$ là số ảo

C. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ là số ảo

D. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ là số thực

Câu 14 :

Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình $2 z^{4} - 3 z^{2} - 2 = 0$ là

A. $3 \sqrt{2}$

B. $5 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{3}$

Câu 15 :

Kí hiệu

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

là bốn nghiệm phức của phương trình

z^{4} + 4 z^{2} - 5 = 0

. Giá trị của

{(z_{1})}^{2} + {(z_{2})}^{2} + {(z_{3})}^{2} + {(z_{4})}^{2}

bằng

A. $2 + 2 \sqrt{5}$

B. 12

C. 0

D. $2 + \sqrt{5}$

Câu 16 :

Gọi

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

là các nghiệm phức của phương trình

{(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0

. Giá trị của biểu thức

S = {(z_{1})}^{2} + {(z_{2})}^{2} + {(z_{3})}^{2} + {(z_{4})}^{2}

là

A. S = 18

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Câu 17 :

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm của phương trình

\frac{{(z)}^{4}}{z^{2}} + \bar{z} = - 4

. Khi đó

(z_{1} + z_{2})

bằng

A. 1

B. 4

C.8

D. 2

Câu 18 :

Cho số thực a, biết rằng phương trình

z^{4} + a z^{2} + 1 = 0

có bốn nghiệm z _1, z _2, z _3, z ₄ thỏa mãn

(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441

. Tìm a

A. $(\begin{matrix} a = 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{matrix})$

B. $(\begin{matrix} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{matrix})$

C. $(\begin{matrix} a = - 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{matrix})$

D. $(\begin{matrix} a = 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{matrix})$

Câu 19 :

Cho số phức z thỏa mãn

11 z^{2018} + 10 i z^{2017} + 10 i z - 11 = 0

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2 \leq (z) < 3$

B. $0 \leq (z) < 1$

C. $1 < (z) < 2$

D. $\frac{1}{2} \leq (z) < \frac{3}{2}$

Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án

Trở thành Membership ngay

MEGA-AI phản hồi

Đăng nhập