"Đề thi KTCL Toán 12 lần 1 năm 2025 – 2026 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội (mã 101) "
Thí sinh đọc kỹ đề trước khi làm bài
Cài đặt đề thi
Vui lòng cài đặt đề thi trước khi làm bài
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ và song song với đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = -1 - 4t \end{cases}$ là:
Câu 5
Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a} = (3; 0; 1)$, $\vec{b} = (1; -1; -2)$ và $\vec{c} = (2; 1; -1)$. Tích vô hướng $\vec{a}(\vec{b} + \vec{c})$ bằng:
Câu 6
Cho hàm số $f(x)$ có $f(1) = 3$ và $f'(1) = 2$. Giá trị của $\lim_{x \to 1} \frac{f^2(x) - 9}{x - 1}$ bằng:
Câu 7
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=x và đồ thị của hàm số y= x^2−2x bằng
Câu 8
Câu 9
Câu 10
Câu 11
Câu 12
Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên $(SBC)$ tạo với đáy một góc bằng $30^\circ$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
Chi phí vận hành trung bình (tính bằng triệu đồng/chuyến) của một công ty vận tải khi vận hành $x$ chuyến xe mỗi ngày được cho bởi hàm số $A(x) = 0,2x + 2 + \frac{500}{x}$ với $10 \leq x \leq 100$.
Câu 17
a) Đạo hàm của hàm chi phí trung bình là $A'(x) = \frac{0,2x^2 + 500}{x^2}$.
Câu 18
b) Chi phí trung bình trên mỗi chuyến xe thấp nhất bằng 22 triệu đồng.
Câu 19
c) Nếu do giới hạn về số lượng tài xế khiến công ty chỉ có thể vận hành tối đa 40 chuyến xe mỗi ngày. Chi phí trung bình trên mỗi chuyến xe trong trường hợp này thấp nhất bằng 22,5 triệu đồng.
Câu 20
d) Tổng chi phí vận hành của công ty vận tải trong một ngày thấp nhất bằng 1,1 tỷ đồng.
Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P): y = -x^2 + 4$ và trục hoành $Ox$. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;1)$, cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (có hoành độ lần lượt là $x_1, x_2$). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung $AB$ được dùng để trồng Hoa Hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung $AB$) được dùng để trồng Cỏ Nhật.
Câu 21
a) Diện tích toàn bộ bồn hoa (tổng diện tích trồng Hoa Hồng và Cỏ Nhật) bằng $16\text{ m}^2$.
Câu 22
b) Tích các hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$ luôn bằng $3$ (tức là $x_1x_2 = 3$).
Câu 23
c) Diện tích trồng Hoa Hồng đạt giá trị nhỏ nhất khi dải đèn LED được thiết kế nằm ngang (song song với trục hoành).
Câu 24
d) Khi diện tích trồng Hoa Hồng gấp đôi diện tích trồng Cỏ Nhật, chiều dài của dải đèn LED (tính bằng độ dài đoạn thẳng $AB$) xấp xỉ $3,84\text{ mét}$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 25
Câu 26
Câu 27
Câu 28
Câu 29
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, BC = 3, SA \perp (ABC)$ và $SB = 6$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $SB$. Biết góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CE$ bằng $60^\circ$. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
Câu 30
Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh $60\text{ cm}$. Bề mặt viên gạch được trang trí bởi một họa tiết hình chữ nhật màu trắng có tâm trùng với tâm viên gạch. Các đỉnh của hình chữ nhật này nằm trên hai đường parabol đối xứng nhau qua tâm viên gạch. Biết rằng mỗi đường parabol có đỉnh tại trung điểm một cạnh của viên gạch và đi qua hai đầu mút của cạnh đối diện (như hình vẽ mô phỏng). Cho biết chi phí nguyên liệu phần men trắng là $80\text{ nghìn đồng/m}^2$, còn phần men màu bao quanh là $200\text{ nghìn đồng/m}^2$. Hỏi chi phí nguyên liệu thấp nhất để sản xuất một viên gạch là bao nhiêu nghìn đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười). 
Câu 31
Một công ty năng lượng đang xây dựng một bể chứa khí thiên nhiên hóa lỏng (LNG) có dạng hình cầu với bán kính $20\text{ mét}$. Để đảm bảo an toàn và dễ dàng trong việc lắp đặt hệ thống đường ống, phần đáy và phần đỉnh của bể được cắt phẳng. Phần đáy bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm bể $18\text{ mét}$, phần đỉnh bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm bể $15\text{ mét}$ (tâm nằm giữa hai mặt phẳng). Hỏi thể tích bể đó là bao nhiêu nghìn mét khối? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 32
Xét các cấp số cộng $(a_n)$ có số hạng đầu tiên $a_1$ và công sai $d$ đều là các số nguyên dương và thỏa mãn $2^{a_8} = 2^{27} a_8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_3$.
Câu 33
Xét một bảng ô vuông kích thước $3 \times 3$. Mỗi ô được điền ngẫu nhiên và độc lập một giá trị từ tập $\{-1; 0; 1\}$. Biết rằng tổng các số trên mỗi hàng đều bằng $0$, gọi $p$ là xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng đều bằng $0$. Tính giá trị của $3430p$.
Câu 34
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$ và điểm $A(0; 6; 4)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng $d$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $H$.
