Đề thi thử học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 08

Ta thấy \(\dfrac{{13\pi }}{4} - \left( { - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \dfrac{{16\pi }}{4} = 4\pi \) \( = 2.2\pi \) nên hai cung có số đo \(\dfrac{{13\pi }}{4}\) và \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\) có cùng điểm cuối.

Chọn B

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P = 3{\cos ^2}\alpha  + 4{\sin ^2}\alpha \\ = 3{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \\ = 3\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha \\ = 3.1 + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13}}{4}\end{array}\)

Chọn A

Ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \) nên:

\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)\) \( =  - \cos C\), do đó A đúng

\(\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)\) \( = \tan \left( {\dfrac{{A + B + C - A}}{2}} \right) = \tan \dfrac{{B + C}}{2}\) nên B đúng

\(\cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi  - B} \right)\) \( =  - \cos B\) nên \(\cos \left( {A + C} \right) + \cos B = 0\), do đó C sai

\(\cos \left( {2A + B + C} \right)\) \( = \cos \left( {A + A + B + C} \right)\) \( = \cos \left( {\pi  + A} \right) =  - \cos A\) nên D đúng

Chọn C

Đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta :x - 5y - 2 = 0\) có dạng \(x - 5y + c = 0\) với \(c \ne  - 2\)

Lại có \(B \in d\) nên \(0 - 5.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 15\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(x - 5y + 15 = 0\)

Chọn D

Tọa độ giao điểm \(\left( {x;y} \right)\) của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiêm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\2\left( {3 + t} \right) + t - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\3t + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \(\left( {2; - 1} \right)\)

Chọn D

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {3;4} \right)\) là:

\(\left( {3 - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\)

Chọn C

Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 5;b = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\)

Nên tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\) , do đó A sai.

Chọn A

Ta có: \(a.f\left( \alpha  \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.\left( {a\alpha  + b} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  + ab < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  <  - ab\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{{ab}}{{{a^2}}}\) (vì \({a^2} > 0\) với \(a \ne 0\))

\( \Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{b}{a}\)

Chọn D

Hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x + 1\) đồng biến khi \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\)

Chọn C

Từ bảng xét dấu suy ra tam thức cần tìm có hệ số \(a < 0\)  và có hai nghiệm \(x =  - 3;x = 2\)

Vì \(a < 0\) nên ta loại B và D

Thay \(x = 2\) vào hai hàm số ở A và C ta thấy ở đáp án A có \(f\left( 2 \right) =  - {2^2} + 2 - 6\) \( =  - 8 \ne 0\) và đáp án C có \(f\left( 2 \right) =  - {2^2} - 2 + 6 = 0\), nên loại A, chọn C.

Chọn C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0\\ - 6x >  - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 3\\x < 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 < x < 2\end{array}\) 

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {1;2} \right)\)

Chọn B

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \dfrac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{144}}{{169}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \dfrac{{12}}{{13}}\) (do \(\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\))

Khi đó \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = 2.\dfrac{{ - 12}}{{13}}.\dfrac{{ - 5}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{169}}\)

Chọn D

Ta có \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin a\sin \beta \) nên A sai.

Chọn A

Ta có:

\(A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\) \( = \dfrac{{1 + \sin 2x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{1 + \sin 2x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}\)

\( = \dfrac{{2\sin x\cos  + 2{{\cos }^2}x}}{{2\sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x}}\) \( = \dfrac{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}\) \( = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x\)

Chọn C

Gọi góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \(\alpha \)

Ta có: \(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\) \( = \dfrac{5}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\alpha  = {45^0}\) .

Chọn B

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và bán kính bằng \(3\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0\)

Chọn B

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne  - 1\left( {ld} \right)\\x \ne  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \ne  - 1\)

Chọn D

Từ bảng xét dấu ta thấy nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b\) có nghiệm \(x =  - 2\) và có hệ số \(a < 0\) nên trong các đáp án chỉ có đáp án C với \(f\left( x \right) =  - 2x - 4\) thỏa mãn (vì có hệ số \(a =  - 2 < 0\) và \( - 2x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 2\)).

Chọn C

Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  < 0\) là khẳng định đúng.

Chọn B

Vì \(\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên điểm M biểu diễn cung \(\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\) thuộc góc phần tư thứ hai.

Chọn B

Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) nên C sai.

Chọn C

Đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\).

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\) là VTCP của \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) có hệ số góc \(k =  - \dfrac{3}{2}\) và VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\)

Chọn B

+) Với \(A\left( {2;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A

+) Với \(B\left( {3;1} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + t\\1 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B

+) Với \(C\left( {1; - 2} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + t\\ - 2 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C

+) Với \(A\left( {0;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn) nên \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng đã cho

Chọn D

Gọi đường thẳng \(\Delta :4x - 3y - 3 = 0\)

Khoảng cách cần tìm là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 4\)

Chọn B

Tâm \(I\) của đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\) là \(I\left( {\dfrac{4}{{ - 2}};\dfrac{{ - 6}}{{ - 2}}} \right)\)  hay \(I\left( { - 2;3} \right)\)

Chọn A

Đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x\) có hai nghiệm \(x = 0;x = 3\)

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\)

Như vậy tam thức đã cho có giá trị âm trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) nên nó có giá trị âm trên \(\left( {1;3} \right)\)

Chọn C

Ta có: \(\dfrac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x > 3\end{array} \right.\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 \le x < 3\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {1;3} \right)\)

Chọn B

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{8}{9}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)  (do \(\dfrac{\pi }{2} < a < \pi \))

Chọn A

Vì \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\), ta có:

\(A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \dfrac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \dfrac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} - 5\)

\( = 1 + {2^2} + \dfrac{{1 + 2}}{{1 - 2}} - 5 =  - 3\)

Chọn C

Ta có:

\(B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\sin a - \sin 3a} \right) + \cos 2a\\ = 2\cos \dfrac{{a + 3a}}{2}.\sin \dfrac{{a - 3a}}{2} + \cos 2a\\ = 2\cos 2a.\sin \left( { - a} \right) + \cos 2a\\ =  - 2\cos 2a\sin a + \cos 2a\\ = \cos 2a\left( {1 - 2\sin a} \right)\end{array}\)

Chọn D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x\\t = y - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = y - 2 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho là \(x - y + 2 = 0\)

Chọn B

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

Vì \(\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{1}{2}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) \( = 2.1 + 1.2 = 4 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không vuông góc.

Chọn B

Gọi góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \(\alpha \), ta có:

\(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {1.3 + \left( { - 1} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\) \( = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

Chọn C

Bán kính đường tròn là \(R = d\left( {I;\Delta } \right)\)\( = \dfrac{{\left| {4.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)

Chọn D

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \) (tổng ba góc trong tam giác)

+) \(\sin \left( {A + B} \right)\) \( = \sin \left( {\pi  - C} \right) = \sin C\) nên A sai

+) \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)\) \( =  - \cos C\) nên B đúng

+) \(\sin \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right)\) \( = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \dfrac{C}{2}\) nên C đúng

+) \(\tan \dfrac{{A + B}}{2}\) \( = \cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = \cot \dfrac{C}{2}\) nên D đúng

Chọn A

Ta có:

\(M = 2{\cos ^2}(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{a}{2}) + \sqrt 2 \sin (\dfrac{\pi }{4} + a) - 1\)

\( = 2.\dfrac{{1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)}}{2}\) \( + \sqrt 2 \left( {\sin a\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos a\sin \dfrac{\pi }{4}} \right) - 1\)

\( = 1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)\) \( + \sqrt 2 .\left( {\sin a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - 1\)

\( =  - \cos a + \sin a + \cos a\) \( = \sin a\)

Chọn A

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\)

Vì \(d \bot \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)  nên \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;1} \right)\) làm VTPT

Suy ra \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Chọn D

Ta có: \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 2)x + 9m - 4 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\left( {ld} \right)\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 9m - 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 13m < 0\) \( \Leftrightarrow  - 13 < m < 0\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 1} \right\}\)  nên có 12 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Chọn C

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3;3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(\Delta :y =  - 2 \Leftrightarrow y + 2 = 0\)

Xét \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 5 > 3\) nên đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\)

 

Khi đó khoảng cách lớn nhất từ \(M \in \left( C \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(MH\) với \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\Delta \) với đường tròn \(\left( C \right)\) .

Đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {0;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\) là 1 VTPT của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d\): \(x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 3\)

Tọa độ giao điểm của d và \(\left( C \right)\) thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \({M_1}\left( {3;0} \right),{M_2}\left( {3;6} \right)\)

Ta có \(d\left( {{M_1};\Delta } \right) = \dfrac{{\left| 2 \right|}}{1} = 2\) và \(d\left( {{M_2};\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {6 + 2} \right|}}{1} = 8\)

Nên khoảng cách lớn nhất là \(8 \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\left( {3;6} \right)\)

Chọn B