Đề thi thử học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 05

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{5^2} + 24}  = \sqrt {49}  = 7\)

Chọn B.

Ta có: \(3.5 + 5.3 - 15 = 15 \ne 0\)

Vậy \({M_3}\) không thuộc \(d\)

Chọn D.

i) \(1 + \cos 2a = 1 + 1 - 2{\sin ^2}a = 2 - 2{\sin ^2}a \ne 2{\sin ^2}a \Rightarrow \) sai

ii) \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a \Rightarrow \) đúng

iii) \(\tan a + \tan b = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} + \frac{{\sin b}}{{\cos b}} = \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a.\cos b}} = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a.\cos b}} \Rightarrow \) đúng

iv) \(\sin a.\sin b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] \ne \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] \Rightarrow \) sai

Vậy có 2 đẳng thức đúng

Chọn B.

\(f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 16\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {4^2} - 16 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Chọn C.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0;3} \right)\) là một VTCP của \(\Delta \)

 Phương trình \(\Delta \): \(0.\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\)

Chọn A.

\({315^o} = \frac{{315\pi }}{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}\)

Chọn B.

Đường thẳng \(d:5x + 3y - 7 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {5;\,3} \right) \Rightarrow \) có 1 VTCP là  \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 5} \right)\)  

Chọn B.

Dễ thấy: \(\cos a + \cos b = 2\cos {{a + b} \over 2}.\cos {{a - b} \over 2}\)

Vậy D sai.

Chọn D.

Ta có: \(\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}\) xác định \( \Leftrightarrow \sin a \ne 0 \Leftrightarrow a \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy A sai

Chọn A.

\(d:\,\,y = 3x - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Ta có \(\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên 2 đường thẳng \(y = 3x - 2\) và \(3x + y - 6 = 0\) cắt nhau nên chúng không song song

Chọn D.

Ta có:  \(\frac{{\left| {2.3 + 2.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {2.4 + 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} }}\)

Vậy đường thẳng \(2x + 2y - 3 = 0\) cách đều 2 điểm A,B

Chọn D.

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 6\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {6, + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)      

Chọn D.

Giao điểm của 2 đường tròn là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\4 - 4x - 4y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - y} \right)^2} + {y^2} = 4\\x = 2 - y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - 4y = 0\\x = 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\\x = 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giao điểm của 2 đường tròn là \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)

Chọn C.

Đường tròn \({x^2} + {y^2} + 6x + 5y + 9 = 0\) có tâm \(I\left( { - 3; - \frac{5}{2}} \right)\)  bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{5}{2}} \right)}^2} - 9}  = \frac{5}{2}\)

Vậy đường tròn đó tiếp xúc với trục Ox

Chọn A.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;4} \right)\) và \(B\left( { - 6;0} \right)\) là  \(\frac{{ - x}}{6} + \frac{y}{4} = 1\). 

Chọn D.

Ta có đường cao \(AH\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7; - 3} \right)\) là 1 VTPT

Phương trình AH: \( - 7\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x + 3y - 11 = 0\)

Chọn A.

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {2{m^2} - m + 8} \right) =  - {m^2} + 3m - 7 =  - \left( {{m^2} - 3m + \frac{9}{4}} \right) - \frac{{19}}{4} =  - {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{{19}}{4} < 0\) với mọi \(m\)

Vậy phương trình luôn vô nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\)  

Chọn A.

Ta có: \(4.\left( { - 1} \right) - 3.2 + 10 = 0 \Rightarrow A \in \Delta :4x - 3y + 10 = 0\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = 2\) mà \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 10} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2 = R\)

Vậy đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 10 = 0\) đi qua A và là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)

Chọn A.

Do \({M_1}\) là điểm đối xứng của M  qua trục Ox mà sđ cung \(AM = \frac{\pi }{3}\)

\( \Rightarrow sd\,\,cung\,\,A{M_1} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn C.

\(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\)

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 1 = 0\) có tâm \(I\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = 1\) mà \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.0 - 4.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{5}{5} = 1 = R\)

Vậy đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) tiếp xúc đường tròn \({x^2} + {y^2} - 1 = 0\)

Chọn A.

d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {8; - 6} \right) = 2\left( {4; - 3} \right).\)

Ta có: \(\Delta  \bot d \Rightarrow \) \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4} \right)\) làm VTPT, \(O\left( {0;0} \right) \in \Delta \)

Phương trình \(\Delta :3x + 4y = 0\)

Chọn C.

\(\begin{array}{l}A = \cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right).\sin \left( {2\pi  - \alpha } \right)\\ =  - \cos \alpha  + \cos \left( { - \alpha } \right) - \tan \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right).\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  + \cos \alpha  - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right).\sin \alpha \\ =  - \cot \alpha .\sin \alpha  =  - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\sin \alpha  =  - \cos \alpha .\end{array}\)

Chọn B.

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)      

\(\frac{1}{{x - 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 2}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{x - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} \le 0 \Leftrightarrow 2 < x \le 3\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {2;3} \right]\)

Chọn C.

Ta có: \(0 \le \,sd\,\,cung\,\,AM \le 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{6} \le \frac{{k2\pi }}{3} \le \frac{{11\pi }}{6}\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{{11}}{6} \Leftrightarrow  - \frac{3}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{4}\)  mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}.\) 

Vậy có 3 điểm \(M\)  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {0;4} \right)\) đến đường thẳng \(x.\sin \alpha  + y.\cos \alpha  + 4\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0\) là:

\(\frac{{\left| {0.\sin \alpha  + 4.\cos \alpha  + 4\left( {1 - \cos \alpha } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } }} = \frac{{\left| {4\cos \alpha  + 4 - 4\cos \alpha } \right|}}{{\sqrt 1 }} = \frac{4}{1} = 4\)

Chọn B.

Ta có: \(\cos 4\alpha  = 2{\cos ^2}2\alpha  - 1 = 2.\frac{4}{9} - 1 =  - \frac{1}{9}\) 

\(\cos \alpha .\cos 3\alpha  = \frac{1}{2}\left( {\cos 4\alpha  + \cos 2\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{9} + \frac{2}{3}} \right) = \frac{5}{{18}}\)

Chọn D.

Độ dài trục lớn là \(4\sqrt {10}  \Rightarrow 2a = 4\sqrt {10}  \Leftrightarrow a = 2\sqrt {10} .\)

Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng \(4\sqrt {10} \) và đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Chọn D.

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 6 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{6}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{6}}  =  - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Chọn A.

Đường tròn có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\)

Chọn C.

Hai đường thẳng \({d_1}:mx + y = m - 5\,\,,\,\,\,{d_2}:x + my = 9\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow \frac{m}{1} \ne \frac{1}{m} \Leftrightarrow {m^2} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\)

Chọn C.

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m + 8} \right) = {m^2} - 6m - 7\)

Bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 7 \le 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 7\)

Chọn C.

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) là một VTPT

\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2} \right)\) là một VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) là 1 VTPT của \({\Delta _2}\)

Dễ thấy \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.2 - 2.1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa 2 đường thẳng đó là \({90^o}\) 

Chọn D.

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\pi  < \alpha  + \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{2}\\ - \pi  <  - \alpha  <  - \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\\\sin \left( { - \alpha } \right) < 0\\\cos \left( { - \alpha } \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\\\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} > 0\end{array} \right.\)

Chọn C.

ĐKXĐ: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} \le 0 \Rightarrow 3x - 1 \le 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {x + 2}  > 0\,\,\,\forall x >  - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 3x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}.\end{array}\)  

Kết hợp  ĐKXĐ \( \Rightarrow  - 2 < x \le \frac{1}{3}\)   

Chọn D.

Ta có : \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\(a + b{\sin ^2}2x = a + 4b{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

Mà  \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a + b{\sin ^2}2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\4b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow T = 3a + 4b = 3 - 3 = 0\)

Chọn C.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - 3 \ne 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| \ne 3\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 3\\x + 1 \ne  - 3\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 4\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne  - 4\end{array} \right.\)

Chọn C.

\(\sin a - 1 = \sin a - \sin \frac{\pi }{2} = 2\cos \frac{{a + \frac{\pi }{2}}}{2}\sin \frac{{a - \frac{\pi }{2}}}{2} = 2\sin \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)  và d là:

\({x^2} + 2x - 5 = 2mx + 2 - 3m \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + 3m - 7 = 0\)      (1)

 Để \(\left( P \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung \( \Leftrightarrow \) (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {3m - 7} \right) > 0\\ - 2\left( {1 - m} \right) > 0\\3m - 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 8 > 0\\1 - m < 0\\3m > 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\\m > 1\\m > \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{7}{3}\)

Chọn C.

Phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 7 = 0\) có hai nghiệm trái dấu

\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 7} \right) < 0 \Leftrightarrow 2 < m < 7.\) 

Chọn C.

Ta có  \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  = \frac{3}{8}\)

\(A = \tan \alpha  + \cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{8}{3}\)

Chọn C.