Đề thi thử học kỳ 1 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 14

Ta có: \({x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Đáp án  A.

Gọi D(a; b). Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1;\,\,6} \right) = \left( { - 1 - a;\,\,5 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - a = 1\\5 - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 2; - 1} \right).\end{array}\)

Đáp án  C.

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\) Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 5t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 6\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x =  - \sqrt 6 \end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ { - \sqrt 6 ;\,\,\sqrt 6 } \right\}.\)

Đáp án B.

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 5 \right) = \dfrac{{\sqrt {5 + 4}  - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{1}{2}\\f\left( { - 5} \right) = 3 - \left( { - 5} \right) = 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( 5 \right) + f\left( { - 5} \right) = \dfrac{1}{2} + 8 = \dfrac{{17}}{2}.\)

Đáp án  C.

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ge 2\) \( \Rightarrow D = \left[ {2; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\sqrt {x - 2}  + {m^2}\sqrt {x + 2}  = 5\sqrt[4]{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 2}  + {m^2}\sqrt {x + 2}  = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\end{array}\)

TH1: \(x = 2\), phương trình trở thành: \(2{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

Thử lại với \(m = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}4\sqrt {x - 2}  = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x - 2}}\left( {4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó phương trình có nghiệm \(x = 2\), suy ra \(m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(x \ne 2\), chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\) ta được: \(4\dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} + {m^2}\dfrac{{\sqrt[4]{{x + 2}}}}{{\sqrt[4]{{x - 2}}}} = 5\)

Đặt \(\dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = t\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\), phương trình trở thành \(4t + \dfrac{{{m^2}}}{t} = 5\)\( \Leftrightarrow 4{t^2} - 5t + {m^2} = 0\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = 25 - 16{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{4} \le m \le \dfrac{5}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Thử lại:

Với \(m =  \pm 1\) ta có: \(4{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{x - 2}} = \sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow 16\left( {x - 2} \right) = x + 2\\ \Leftrightarrow 16x - 32 = x + 2\\ \Leftrightarrow 15x = 34\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{34}}{{15}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m =  \pm 1\) thỏa mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Đáp án B.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a và AC là phân giác của góc BAD.

\( \Rightarrow \angle BAC = {45^0} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\) \( = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0}\)\( = {a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( = {a^2}\).

Đáp án B.

Ta có

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow u  = \left( {2; - 4} \right)\\\,\,\,\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {0; - 2} \right)\end{array}\)

Đáp án C.

Ta có: \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u \left( {2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow v \left( {k;\dfrac{1}{3}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2k - 3.\dfrac{1}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 2k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án C.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Đáp án B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 4} \right)x - 2m - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 5} \right)x - 2m = 0\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{m^2} - 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} - 1} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \ne 1\\ \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}\) 

Đáp án D.

\(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\) có a < 0 và tọa độ đỉnh là (2;5) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi x = 2.

Do đó \(a{x^2} + bx + c \le 5\,\,\forall x\).

Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = m\) vô nghiệm khi và chỉ khi m > 5.

Đáp án A.

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a\).

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 2 = 2{x^2} - x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với x = 2 thì y = 10 => A(2;10).

Với x = -3 thì y = 25 => B(-3;25).

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì \(A \in AB\) nên 10 = 2a + b.

Vì \(B \in AB\) nên 25 = -3a + b.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 10\\ - 3a + b = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 16\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = –3x + 16.

Đáp án C.

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}\) \( \Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Đáp án B.

Cho x = 0 ta có: \(y =  - {0^2} - 2.0 + 5 = 5\).

Vậy giao điểm của (P) với Oy là (0;5).

Đáp án A.

Vì I là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 \).

Mà M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IM} \).

Do đó \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = -2\overrightarrow {IA} \) hay \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Đáp án C.

Tập hợp A có 2 phần tử nên có \({2^2} = 4\) tập con.

Đáp án A.

Hàm số \(y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1\) là hàm số bậc nhất

\( \Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\).

Đáp án A.

Xét đáp án D ta có:

TXĐ: D = R nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Đặt \(y = f\left( x \right) =  - {x^4} + 3{x^2} + 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) =  - {\left( { - x} \right)^4} + 3{\left( { - x} \right)^2} + 1\\f\left( { - x} \right) =  - {x^4} + 3{x^2} + 1\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array}\)

Vậy hàm số \(y =  - {x^4} + 3{x^2} + 1\) là hàm số chẵn.

Đáp án D.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 5x + 2m = 0\) (*).

Để đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 5x + 2m\) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = 25 - 8m > 0\) \( \Leftrightarrow m < \dfrac{{25}}{8}\).

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) \( \Rightarrow A\left( {{x_1};0} \right)\) và \(B\left( {{x_2};0} \right)\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 5\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\) (**).

Theo bài ra ta có:

OA = 4OB

\( \Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = 4\left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4{x_2}\\ - {x_1} = 4{x_2}\end{array} \right.\)

TH1; \({x_1} = 4{x_2}\), thay vào hệ (**) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + 4{x_2} = 5\\{x_2}.4{x_2} = 2m\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\4 = 2m\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

TH2; \( - {x_1} = 4{x_2}\), thay vào hệ (**) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} - 4{x_2} = 5\\{x_2}.\left( { - 4{x_2}} \right) = 2m\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} =  - \dfrac{5}{3}\\ - \dfrac{{100}}{9} = 2m\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} =  - \dfrac{5}{3}\\m =  - \dfrac{{50}}{9}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow S = \left\{ {2; - \dfrac{{50}}{9}} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của S bằng \(2 + \left( { - \dfrac{{50}}{9}} \right) =  - \dfrac{{32}}{9}\).

Đáp án D.

Vì A thuộc đồ thị hàm số nên \( - 2 = a - 1 + c \Leftrightarrow a + c =  - 1\).

Vì B thuộc đồ thị hàm số nên \(3 = 4a - 2 + c \Leftrightarrow 4a + c = 5\).

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 1\\4a + c = 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(y = 2{x^2} - x - 3\).

Đáp án C.

Hàm số \(y =  - {x^2} + 5x - 6\) có \( - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{5}{{2.(-1)}} = \dfrac{5}{2}\) và \(a =  - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Ta thấy \(\left( {1;2} \right) \subset \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)\) nên hàm số đồng biến trên (1;2).

Đáp án D.

Đáp án A: \({1^2} + 4.1 - 2 = 3 \ne  - 3 \Rightarrow \left( {1; - 3} \right)\) không thuộc (P).

Đáp án B: \({3^2} + 4.3 - 2 = 19 \ne 18 \Rightarrow \left( {3;18} \right)\) không thuộc (P).

Đáp án C: \({\left( { - 2} \right)^2} + 4.\left( { - 2} \right) - 2 =  - 6 \Rightarrow \left( { - 2; - 6} \right)\) thuộc (P).

Đáp án C.

Với m = 0, hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 0\\y =  - \dfrac{2}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y =  - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên m = 0 loại.

Với \(m \ne 0\).

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = m\\mx + y = m - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm

\( \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{m - \dfrac{2}{9}}}{m} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\{m^2} = m - \dfrac{2}{9}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{3}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}\) (tm).

Vậy \({m_0} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {m_0} \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Đáp án A.

Do \({x_1};\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 4x - 15 = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4\\{x_1}{x_2} =  - 15\end{array} \right.\).

Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)\( = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.\left( { - 15} \right)} \)\( = \sqrt {76} \).

Đáp án B.

Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) nhận đường thẳng \(x =  - \dfrac{4}{{2.3}} =  - \dfrac{2}{3}\) làm trục đối xứng.

Đáp án C.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} - 4x + 4}  = 3x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 \ge 0\\3{x^2} - 4x + 4 = {\left( {3x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\3{x^2} - 4x + 4 = 9{x^2} + 12x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\6{x^2} + 16x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{8}{3}\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 0 \right\}\).

Đáp án A.

Hàm số  \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2} + 2x - 3\) có các hệ số \(a =  - 1,\,\,\,b = 2,\,\,c =  - 3\).

\( \Rightarrow  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) và \( - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 2\).

Vậy đỉnh của parabol là \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Đáp án A.

Ta có 91 = 7.13 nên 91 là hợp số.

Vậy đáp án D sai.

Đáp án D.

Ta có:

A \ B = {1;3} ,  B \ A = {6;8}

\( \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {1;3;6;8} \right\}\).

Vậy \(\left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right)\) có 4 phần tử.

Đáp án B.

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì \(A \in AB\) nên 4 = –a + b.

Vì \(B \in AB\) nên –7 = 2a + b.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 4\\2a + b =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{{11}}{3}\\b = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng AB là \(y =  - \dfrac{{11}}{3}x + \dfrac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow 3y =  - 11x + 1\)\( \Leftrightarrow 11x + 3y - 1 = 0\).

Đáp án C.

Hàm số xác định

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {m^2} \ge 0\,\,\\{x^2} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} \ge m\).

Để hàm số xác định trên R thì \({x^2} \ge m\,\,\forall x \in R\).

Mà \({x^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow m \le 0\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right]\).

Đáp án D.

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IA = IB = IC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( { - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2}\\{\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( { - y} \right)^2} = {\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 12x + 36 + {y^2} = {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\{y^2} = {y^2} - 4y + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x + 4y =  - 32\\ - 4y + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy I(-3;1).

Đáp án B.

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge -2\\x \ne 3\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - 2; + \infty } \right]\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Đáp án D.

Ta có: ABCD là hình thoi có \(\angle BAD = {60^0}\)\( \Rightarrow \angle ABC = {120^0}\) và tam giác ABD là tam giác đều.

\( \Rightarrow AB = AD = BD = a.\)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {BN}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BN}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + {{\overrightarrow {BD} }^2} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {BA.BD.\cos ABD + BA.BC.\cos ABC + B{D^2} + BD.BC.\cos DBC} \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {{a^2}.\cos {{60}^0} + {a^2}.\cos {{120}^0} + {a^2} + {a^2}.\cos {{60}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right) = \dfrac{{3{a^2}}}{8}.\end{array}\)

Đáp án  B.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\g\left( x \right) = {x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4{m^2} + 12m - 9 > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + 4{m^2} - 12m + 9 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 < 0\\4{m^2} - 12m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2.\end{array}\)

Đáp án  A.

Ta có:\({G_1}\)  trọng tâm tam giác ABN \( \Rightarrow \overrightarrow {A{G_1}}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} .\)

\({G_2}\)  trọng tâm tam giác ACM \( \Rightarrow \overrightarrow {A{G_2}}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AN} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{G_1}{G_2}}  = \overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {A{G_2}}  =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AN} \\ =  - \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN} } \right)\\ =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\ =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{4}{9}\overrightarrow {BC} \\ =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{4}{9}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\\ =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{4}{9}\overrightarrow {AB} \\ =  - \dfrac{2}{9}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{9}\overrightarrow {AC} .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{9}\\y = \dfrac{2}{9}\end{array} \right. \Rightarrow x + y =  - \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = 0.\end{array}\)

Đáp án  D.

Ta có: \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 =  - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y =  - 3 + 2 =  - 1.\end{array}\)

Đáp án  D.

Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB = DC = a.

\(\begin{array}{l}\angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {DC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {Cx} } \right) = \angle ACx = {180^0} - \angle ACD.\\ \Rightarrow \cos \angle ACD = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle ACD = {60^0}\\ \Rightarrow \angle ACx = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\end{array}\)

Đáp án A.

+) Xét đáp án A: \(y =  - 2 + 3x\) có \(a = 3 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Đáp án A.