Đề thi thử giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 11

Ta có 

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu

f(x)>0⇔−3<x<√2

Ta có: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{9}{2}. \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \( f\left( x \right) < 0{\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} - 1 < x < \frac{9}{2}.\)

Mà x nguyên nên x∈{0;1;2;3;4}.

Ta có \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2. \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f(x)≥0⇔1≤x≤2.

Ta có \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 5. \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu \( f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Ta có: f(x)≥0,∀x∈R khi a>0 và Δ≤0

Điều kiện 

\(\left\{\begin{array}{l} x^{2}-2 x \geq 0 \\ 25-x^{2}>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq 0 \\ \end{array}\right.}\\ -5<x<5 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} -5<x \leq 0 \\ 2 \leq x<5 \end{array}\right.\right.\right.\)

Vậy tập xác định là \(D=(-5 ; 0] \cup[2 ; 5)\)

Ta có 

\(\left\{\begin{array}{l} x^{2}-6 x+5 \leq 0 \\ x^{2}-8 x+12<0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 1 \leq x \leq 5 \\ 2<x<6 \end{array} \Leftrightarrow 2<x \leq 5\right.\right.\)

Ta có

\(\left\{\begin{array}{l} x-\frac{1}{2} \geq \frac{x}{4}+1 \\ x^{2}-4 x+3 \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{4} x \geq \frac{3}{2} \\ 1 \leq x \leq 3 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ 1 \leq x \leq 3 \end{array} \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3\right.\right.\right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=[2 ; 3]\)

ĐK: \(\left\{\begin{array}{l} x \geq 2017 \\ x \leq 2017 \end{array} \Leftrightarrow x=2017\right.\)

Thử x = 2017 vào bất phương trình không thỏa mãn. Vậy bất phương trình vô nghiệm

ĐK: \(x \geq 1\)

Ta có

\(\begin{array}{l} \sqrt{x}-\sqrt{x-1}<\frac{1}{100} \Leftrightarrow 100 \sqrt{x}<100 \sqrt{x-1}+1 \Leftrightarrow 200 \sqrt{x-1}>9999 \\ \Leftrightarrow x>\left(\frac{9999}{200}\right)^{2}+1 \approx 2500,5 \\ \text { Vậy } x=2501 \end{array}\)

ĐK: \(3x-2\ge 0\Leftrightarrow x \geq \frac{2}{3}\)

Ta có \(\sqrt{x^{2}+1}>0, \forall x\). Khi đó 

\((\sqrt{3 x-2}-1) \sqrt{x^{2}+1}<0 \Leftrightarrow \sqrt{3 x-2}-1<0 \Leftrightarrow \sqrt{3 x-2}<1 \Leftrightarrow 3 x-2<1 \Leftrightarrow x<1\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\frac{2}{3} \leq x<1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[\frac{2}{3} ; 1\right)\)

\(\frac{2 x-5}{3}>\frac{x-3}{2}\Leftrightarrow 2(2 x-5)>3(x-3) \Leftrightarrow 4 x-10>3 x-9 \Leftrightarrow x>1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((1 ;+\infty)\)

Ta có

\(\sqrt{x-1}<1(*) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x-1<1 \end{array} \Leftrightarrow 1 \leq x<2\right.\)Bất phương trình (*) có tập nghiệm là \(S=[1 ; 2)\)

ĐK: \(x-1\ge 0\Leftrightarrow x \geq 1\). Với điều kiện trên thì

\(\sqrt{x^{2}-2 x+5}=\sqrt{(x-1)^{2}+4} \geq 2 ; \sqrt{x-1} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x^{2}-2 x+5}+\sqrt{x-1} \geq 2, \forall x \geq 1\)

Do đó \(\sqrt{x^{2}-2 x+5}+\sqrt{x-1} \leq 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2 x+5}+\sqrt{x-1}=2 \Leftrightarrow x=1\)

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm.

Nếu \(x>0 \text { thì } \frac{3}{x} \geq 1 \Leftrightarrow x \leq 3\). . Tập nghiệm của bất phương trình là \(\begin{array}{l} S_{1}=(0 ; 3] \end{array}\)

Nếu \(x<0 \text { thì } \frac{3}{x} \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 3\).  Tập nghiệm của bất phương trình là \(S_{2}=\varnothing\)

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=S_{1} \cup S_{2}=(0 ; 3]\). Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 3 .

Ta có 

\(|4-3 x| \leq 8 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 4-3 x \leq 8 \\ 4-3 x \geq-8 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \geq-\frac{4}{3} \\ x \leq 4 \end{array} \Rightarrow S=\left[-\frac{4}{3} ; 4\right]\right.\right.\)

Ta có \(|x-5| \leq 4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x-5 \geq-4 \\ x-5 \leq 4 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq 9 \end{array} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 9\right.\right.\)

Trên [1;9], phương trình \(|x-5| \leq 4\) có 9 nghiệm nguyên.

Ta có \(\text { Yêu cầu bài toán } \Leftrightarrow|2 x-5|-3 \leq 0 \Leftrightarrow|2 x-5| \leq 3 \Leftrightarrow-3 \leq 2 x-5 \leq 3 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4\)

Ta có \(y=\frac{4 x^{4}-3 x^{2}+9}{x^{2}}=4 x^{2}+\frac{9}{x^{2}}-3 .\)

Với x>0, áp dụng BĐT Co-si ta có

\(4 x^{2}+\frac{9}{x^{2}} \geq 2 \sqrt{4 x^{2} \cdot \frac{9}{x^{2}}}=12 \Rightarrow y \geq 9\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{4 x^{4}-3 x^{2}+9}{x^{2}}\) là 9

TXĐ: \(D=[2 ; 4]\)

Ta có \(A^{2}=2+2 \sqrt{(x-2)(4-x)} \geq 2 \Rightarrow A \geq \sqrt{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\sqrt 2\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ y \ge - 3 \end{array} \right.\), suy ra \(x + y + 1 \ge 0\).

● Ta có 

\(\begin{array}{l} x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\,\\ = 2\sqrt {x - 2} + 2\sqrt {y + 3} \le \frac{{4 + x - 2}}{2} + \frac{{4 + y + 3}}{2} = \frac{{x + y + 9}}{2} \end{array}\)

Suy ra ​\(x + y + 1 \le \frac{{x + y + 9}}{2} \Leftrightarrow x + y \le 7\).

● Lại có \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y + 1} \right)^2} = 4\left( {x + y + 1 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} } \right) \ge 4\left( {x + y + 1} \right)\) (do \(2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} \ge 0\))

Suy ra 

\({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + y + 1 \le 0\\ x + y + 1 \ge 4 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x + y + 1 = 0\\ x + y + 1 \ge 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + y = - 1\\ x + y \ge 3 \end{array} \right..\)

Do hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \le 0,{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow 4ac \ge {b^2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = \frac{{4a + c}}{b} \ge \frac{{2\sqrt {4ac} }}{b} \ge \frac{{2\sqrt {{b^2}} }}{b} = \frac{{2b}}{b} = 2.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} c = 4a\\ {b^2} = 4ac \end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a.\)

Từ giả thiết suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 4.\)

Ta có \(4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} .\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\).

Từ đó suy ra \(4 \le {a^2} + {b^2} + {c^{2}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \) hay \(\sqrt {\frac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow 3 \le S \le 4.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

\({x^2} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}} \ge 3.\sqrt[3]{{{x^2}.\frac{y}{{zx}}.\frac{z}{{xy}}}} = 3\\{\rm{ }}{y^2} + \frac{x}{{yz}} + \frac{z}{{xy}} \ge 3\\{\rm{ }}{z^2} + \frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} \ge 3.\)

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {\frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}}} \right) \ge 9\).

Suy ra \(P \ge \frac{9}{2}\). Khi x = y= z thì \(P = \frac{9}{2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

\({x^3} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \ge 4x\) hay \({x^3} + 3\sqrt[3]{x} \ge 4x\).

Tương tự: \({y^3} + 3\sqrt[3]{y} \ge 4y\) và \({z^3} + 3\sqrt[3]{z} \ge 4z\).

Suy ra \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right) \ge 4\left( {x + y + z} \right) = 12.\)

Khi x = y = z = 1 thì P = 12

\(\left\{ \begin{array}{l} A\left( {1;5} \right),\,B\left( { - 4; - 5} \right) \to AB:2x - y + 3 = 0\\ A\left( {1;5} \right),\,C\left( {4; - 1} \right) \to AC:2x + y - 7 = 0 \end{array} \right..\)

Suy ra các đường phân giác góc A là:

\(\frac{{\left| {2x - y + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {2x + y - 7} \right|}}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0 \to f\left( {x;y} \right) = x - 1\\ y - 5 = 0 \end{array} \right. \\\to \left\{ \begin{array}{l} f\left( {B\left( { - 4; - 5} \right)} \right) = - 5 < 0\\ f\left( {C\left( {4; - 1} \right)} \right) = 3 > 0 \end{array} \right.\)

Suy ra đường phân giác trong góc A là y - 5 = 0

\(\left\{ \begin{array}{l} A\left( {\frac{7}{4};3} \right),\,B\left( {1;2} \right) \to AB:4x - 3y + 2 = 0\\ A\left( {\frac{7}{4};3} \right),\,C\left( { - 4;3} \right) \to AC:y - 3 = 0 \end{array} \right..\)

Suy ra các đường phân giác góc A là:

\(\begin{array}{l} \frac{{\left| {4x - 3y + 2} \right|}}{5} = \frac{{\left| {y - 3} \right|}}{1} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x + 2y - 13 = 0 \to f\left( {x;y} \right) = 4x + 2y - 13\\ 4x - 8y + 17 = 0 \end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l} f\left( {B\left( {1;2} \right)} \right) = - 5 < 0\\ f\left( {C\left( { - 4;3} \right)} \right) = - 23 < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Suy ra đường phân giác trong góc A là 4x - 8y + 17 = 0.

Điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta ;\,\,Ox:y = 0\) khi và chỉ khi

\(d\left( {M;\Delta } \right) = d\left( {M;Ox} \right) \\\Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| y \right|}}{{\sqrt 1 }} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 0\\ x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0 \end{array} \right..\)

\(d:\left\{ \begin{array}{l} x = m + 2t\\ y = 1 - t \end{array} \right. \to d:x + 2y - m - 2 = 0.\)

Đoạn thẳng d cắt AB khi và chỉ khi

\(\left( {{x_A} + 2{y_A} - m - 2} \right)\left( {{x_B} + 2{y_B} - m - 2} \right) \le 0 \\\Leftrightarrow {\left( {3 - m} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow m = 3.\)

Đặt \(f\left( {x;y} \right) = 2x - 3y + 6\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {A\left( {1;3} \right)} \right) = - 1 < 0\\ f\left( {B\left( { - 2;4} \right)} \right) = - 10 < 0\\ f\left( {C\left( { - 1;5} \right)} \right) = - 11 < 0 \end{array} \right.\,\)

⇒ dkhông cắt cạnh nào của tam giác ABC.

Điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1};\,\,{\Delta _2}\) khi và chỉ khi

\(d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;{\Delta _2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2y - 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {2x - y + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x + y = 0\\ x - 3y + 6 = 0 \end{array} \right..\)

\(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 - 3t \end{array} \right. \Rightarrow d:3x + y - 7 = 0.\)

Khi đó điều kiện bài toán trở thành

\(\left( {3{x_A} + {y_A} - 7} \right)\left( {3{x_B} + {y_B} - 7} \right) > 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {m - 13} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 13.\)

Đoạn thẳng AB và d:4x - 7y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi

\(\left( {4{x_A} - 7{y_A} + m} \right)\left( {4{x_B} - 7{y_B} + m} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 10} \right)\left( {m - 40} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 10 \le m \le 40.\) 

A(1;3), B(2;m) nằm cùng phía với d:3x + 4y - 5 = 0 khi và chỉ khi

\(\left( {3{x_A} + 4{y_A} - 5} \right)\left( {3{x_B} + 4{y_B} - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 10\left( {1 + 4m} \right) > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{4}.\)

M, N cùng phía so với \(\Delta\) khi \(\left( {a{x_m} + b{y_m} + c} \right).\left( {a{x_n} + b{y_n} + c} \right)\, > \,0.\)

\(\begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{l} d:y = kx \to {{\vec n}_d} = \left( {k; - 1} \right)\\ \Delta :y = x \to {{\vec n}_\Delta } = \left( {1; - 1} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{2} = \cos {60^ \circ } = \frac{{\left| {k + 1} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {k^2} + 1 = 2{k^2} + 4k + 2\\ \Leftrightarrow {k^2} + 4k + 1 = 0 \end{array}\)

⇒ \({k_1} + {k_2} = - 4.\)

\(d:x + 2y - 6 = 0 \to {\vec n_d} = \left( {1;2} \right)\)

Gọi \({\vec n_\Delta } = \left( {a;b} \right) \to {k_\Delta } = - \frac{a}{b}.\)

Ta có

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^ \circ } = \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt 5 }} \\\Leftrightarrow 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2{a^2} + 8ab + 8{b^2}\)

\(\Leftrightarrow 3{a^2} - 8ab - 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - \frac{1}{3}b \to {k_\Delta } = \frac{1}{3}\\ a = 3b \to {k_\Delta } = - 3 \end{array} \right..\)

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc \({0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {d_1}:2x + y - 3 = 0\\ {d_2}:x - 2y + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \to {d_1} \cap {d_2} = A\left( {1;1} \right) \in \Delta .\)

Ta có: 

\({d_3}:y - 1 = 0 \to {\vec n_3} = \left( {0;1} \right),\) gọi \({\vec n_\Delta } = \left( {a;b} \right),\,\,\varphi = \left( {\Delta ;{d_3}} \right)\)

Khi đó

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos \varphi = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {0 + 1} }}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{b^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b \to a = b = 1 \to \Delta :x + y - 2 = 0\\ a = - b \to a = 1,\,b = - 1 \to \Delta :x - y = 0 \end{array} \right..\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\ {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + at\\ y = 1 - 2t \end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^ \circ } = \cos \varphi = \frac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 14\\ a = \frac{2}{7} \end{array} \right..\)