Đề thi thử giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 06

\(3x - 3y + 4 = 0\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)\)\( = \left( {1; - 1} \right)\,\, = k\left( {1; - 1} \right)\)\(\left( {k \ne 0,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) Với \(k = 3\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Với \(k =  - 2\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( { - 2;2} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Với \(k = 6\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {6; - 6} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.  

Chọn A.

Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_C} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_C} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)

Ta có: \(A\left( {2;\,\,1} \right)\), \(M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;\,\, - 2} \right)\)\( \Rightarrow {\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Phương trình đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) vẽ từ \(A\) đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\) là VTPT là :

\(2.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0\)

Chọn D.

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 1 + 2 + 2\left( {1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 1 < 0\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 4 + 2 + 2\left( {2 - 2} \right) < 2\left( {1 - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 2 <  - 6\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(\left( {4;\,\,2} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,0} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 0 + 2 + 2\left( {0 - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right).0\)\( \Leftrightarrow  - 2 < 0\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - 1} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 1 + 2 + 2\left( { - 1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 5 < 0\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\).

Chọn B.

Vì \(M\) là điểm không thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) và thuộc góc phần tư thứ hai của hệ trục độ \(Oxy\) nên \(\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  < 0\).

Chọn D.

\({\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_1} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\)

\({\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_2} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right)\)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) không cùng phương \( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

*) \({\vec n_1}.{\vec n_2} = 0 \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\left( {k \ne 0} \right)\)

+ Nếu \(k = 1\) thì \({\vec n_1} = {\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

+ Nếu \(k \ne 1\) thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai (vì hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể song song với nhau hoặc trùng nhau)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau hoặc song song với nhau. Kết hợp với điều kiện \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M \in {\Delta _2}\) suy ra \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau. \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng

Chọn C.

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 4x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + {y^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) được viết dưới dạng: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) có tâm \(A\left( {2;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

\( \Rightarrow \) Đáp án B và C đúng.

*) Nếu \(x = 0\), \(\left( C \right)\) trở thành:

\({\left( {0 - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {y^2} = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - \sqrt 5 \\y = \sqrt 5 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm phân biệt \(\left( {0;\,\, - \sqrt 5 } \right)\) và \(\left( {0;\,\,\sqrt 5 } \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

*) Nếu \(y = 0\), \(\left( C \right)\) trở thành:

\({\left( {x - 2} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(\left( {5;\,\,0} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn A.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x >  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - 3;\,\,2} \right)\).

Chọn D.

+) Thay \(x = 1;\,\,y =  - 3\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\ - 3 =  - 4 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(N\left( {1;\,\, - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x = 3;\,\,y = 1\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 5\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(Q\left( {3;\,\,1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x =  - 3;\,\,y = 1\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 5\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(M\left( { - 3;\,\,1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x = 1;\,\,y = 3\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\3 =  - 4 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 7\end{array} \right.\)(không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(P\left( {1;\,\,3} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Chọn A.

Hàm số \(y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \) xác định khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5  \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {5 - \sqrt 5 } \right)x - 5\sqrt 5  \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow  - 5 \le x \le \sqrt 5 \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \) là \(D = \left[ { - 5;\,\,\sqrt 5 } \right]\).

\( \Rightarrow a =  - 5;\,\,b = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow M = a + {b^2} = \)\(\left( { - 5} \right) + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 0\)

Chọn D.

+) Xét đáp án A

\(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\c > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)c < 0\)\( \Rightarrow ac - bc < 0\)\( \Rightarrow ac < bc\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B

\(c < a < b\)

Giả sử \(c < 0 \Rightarrow ac > bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Xét đáp án C

\(a < b\)

Giả sử \(c < 0 \Rightarrow ac > bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+) Xét đáp án D

\(a < b\)

Giả sử \(c > 0 \Rightarrow ac < bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Chọn A.

Ta có: \(\angle AOM = {75^0},\,\,\angle MON = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Cung lượng giác có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(N\) có số đo bằng \( - {105^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn B.

\({\Delta _1}:\,\,2x - 5y + 15 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{{\Delta _1}}} = \left( {2;\,\, - 5} \right)\)

\({\Delta _2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\vec u_{{\Delta _2}}} = \left( { - 2;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow {\vec n_{{\Delta _2}}} = \left( {5;\,\,2} \right)\)

\(\cos \left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right)\)\( = \cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_{{\Delta _1}}},\,\,{{\vec n}_{{\Delta _1}}}} \right)} \right|\)\( = \dfrac{{\left| {2.5 + \left( { - 5} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = 0\)

\( \Rightarrow \cos \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}\).

Chọn B.

\(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.3 + 4.\left( { - 1} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)\( = \dfrac{{15}}{5} = 3\)

Chọn C.

Ta có :

\(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow  - \pi  < \alpha  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \pi } \right) < 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(0 < \alpha  + \pi  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow \pi  < \alpha  + \pi  < \dfrac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\\\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{tan}}\left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\\\cot \left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B và D đúng ; Đáp án C sai.

Chọn C.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \le 0\\{x^2} - 1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 1 \le x \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Chọn A.

*) Xét đáp án A

+) \(x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \le 2\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 \le 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\) tương đương.

*) Xét đáp án B

+) \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 \ge 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\) không tương đương.

*) Xét đáp án C

+) \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\) không tương đương.

*) Xét đáp án D

+) \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x < 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < 2\end{array} \right.\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\) không tương đương.

Chọn A.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| \ge \left| {x - 2} \right| + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {\left| {x - 2} \right| + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {x - 2} \right)^2} + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge {x^2} - 4x + 4 + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow 2x + 1 + 4x - 4 - 9 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6x - 12 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\)

Vậy  tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\) là \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\).

Chọn A.

Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AI = BI\\BI = CI\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4b = 0\\8a - 8b = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow I\left( {2;\,\, - 2} \right)\), \(R = AI = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có tâm \(I\left( {2;\,\, - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)

Chọn C.

Bất phương trình \(\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}  < x + 1\) xác định khi và chỉ khi :

 \(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Chọn D.

Bất phương trình: \(\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0\)

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0\) là \(S = \left( { - 4;\,\,1} \right)\).

\( \Rightarrow a =  - 4;\,\,b = 1\)

\( \Rightarrow b - a = 1 - \left( { - 4} \right) = 5\)

Chọn C.

Áp dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\) 

\( \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - {\left( {\dfrac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{169}}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \dfrac{5}{{13}}\\\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\end{array} \right.\)

Mà \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0\), do đó \(\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\).

Chọn C.

\({d_1}:\,\,5x - 3y + 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_1} = \left( {5;\,\, - 3} \right)\)

\({d_2}:\,\,3x + 5y - 2 = 0x\)\( \Rightarrow {\vec n_2} = \left( {3;\,\,5} \right)\)

\( \Rightarrow {\vec n_1}\,.\,\,{\vec n_2}\)\( = 5.3 + \left( { - 3} \right).5\)\( = 0\)

\( \Rightarrow {d_1}\) vuông góc \({d_2}\).

Chọn B.

+) \(m = 0\), bất phương trình trở thành: \(0x > 3 \Leftrightarrow 0 > 3\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình vô nghiệm khi \(m = 0\).

+) \(m \ne 0\), ta có: \(mx > 3 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{m}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của BPT là \(S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)\).

Kết luận:

+ Với \(m = 0\): Bất phương trình vô nghiệm

+ Với \(m \ne 0\): Bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)\).

Chọn C.

\({x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - x - 12 \le 0\) là \(S = \left[ { - 3;\,\,4} \right]\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\).

Vậy bất phương trình có \(8\) nghiệm nguyên.

Chọn A.

+) Xét đáp án A: \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = c\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0\) không phải là phương trình của một đường tròn.

+) Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0\)

Ta có: \(a = 0,\,\,b = 3,\,\,c = 0\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {0;\,\,3} \right),\,\,R = \sqrt 5 \).

+) Xét đáp án C: \(2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0\)

Ta có: \(a = 0,\,\,b = 0,\,\,c =  - 8\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right),\,\,R = 2\).

+) Xét đáp án D: \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 4,\,\,b = 1,\,\,c = 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {2;\,\,\dfrac{1}{2}} \right),\,\,R = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Chọn A.

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)

\(\begin{array}{l}\,\dfrac{3}{{2 - x}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2 - x}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 2 + x}}{{2 - x}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + x}}{{2 - x}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + x > 0\\2 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 + x < 0\\2 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x <  - 1\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ \( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\).

Chọn C.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {2x - 3} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow  - 1 \le 2x - 3 \le 1\\ \Leftrightarrow 2 \le 2x \le 4\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

Tổng bình phương các nghiệm của bất phương trình là: \({1^2} + {2^2} = 5\)

Chọn B.

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\)

+) \(d\) có hệ số góc \(k =  - 2\) nên \(a =  - 2\) \(\left( 1 \right)\)  

+) \(d\) đi qua \(A\left( {3;\,\, - 2} \right)\) nên ta có: \( - 2 = 3a + b\) \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - 2 = 3.\left( { - 2} \right) + b \Leftrightarrow b = 4\)

\( \Rightarrow \) PTTQ của đường thẳng \(d\) có dạng :

 \(y =  - 2x + 4\)\( \Leftrightarrow  - 2x - y + 4 = 0\)

\( \Rightarrow {\vec n_d} = \left( { - 2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) PTTS của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;\,\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\) là VTCP có dạng là :  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 - 2t\end{array} \right.\)

Chọn B.

\(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {x^2} - bx + 3 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} - 12 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 3 \\b \le  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow b \in \left( { - \infty ;\,\, - 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;\,\, + \infty } \right)\)

Chọn A.

Tam giác đều có góc ở đỉnh là \({60^0}\) nên góc ở tâm là \({120^0}\) tương ứng \(\dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Theo đề bài: \(\tan \alpha  = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 4\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 4{\cos ^2}\alpha \)

Ta lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Rightarrow 5{\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)

\(P = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \)\( = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}\)

Vậy \(P =  - \dfrac{3}{5}\) khi \(\tan \alpha  = 2\).

Chọn C.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {\left( {x + 1} \right)^2}\\x - m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {x^2} + 2x + 1\\x < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < m\end{array} \right.\)

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m > 1\).

Kết hợp với điều kiện \(m < 2019,\,\,m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\1 < m < 2019\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3; \ldots ;\,\,2018} \right\}\).

Vậy có \(2017\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn B.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\, > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Chọn C.

Lấy \(A\left( {1;\,\,0} \right) \in {\Delta _1}:\,\,3x + 2y - 3 = 0\).

\(d\left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {3.1 + 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }}\)\( = \dfrac{5}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{{13}}\)

Chọn D.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\)

Đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} = x + 2.\sqrt x .\sqrt {4 - x}  + 4 - x\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\sqrt {x\left( {4 - x} \right)}  + 4\)\( = 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4\)

Bất phương trình trở thành:

\(t + {t^2} - 4 \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(t \ge 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4 \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x - {x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {0;\,\,4} \right]\)\( \Rightarrow a = 0;\,\,b = 4\)

Thay \(a = 0,\,\,b = 4\) vào biểu thức \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\) ta được: \(P = {0^{2019}} + {4^{2019}}\)\( = {\left( {{2^2}} \right)^{2019}} = {2^{4038}}\)

Chọn B.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2\\x \ge 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge 3\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow x - 1 > x - 2 + x - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}  < 4 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x > 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\\4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) < {\left( {4 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\4{x^2} - 20x + 24 < 16 - 8x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\3{x^2} - 12x + 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\3 \le x < 4\end{array} \right.\\\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3} < x < \dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};2} \right] \cup \left[ {3;\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(x \ge 3\) nên \(x = 3\).

Chọn B.

Với \(\alpha  \in \mathbb{R}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha  - \pi } \right)\\P = \cos \left[ { - \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right] + \sin \left[ { - \left( {\pi  - \alpha } \right)} \right]\\P = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\\P = \sin \alpha  - \sin \alpha \\P = 0\end{array}\)

Vậy \(P = 0\).

Chọn D.

\(\begin{array}{l}\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {1;\,\,2} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)

Giá trị nguyên âm lớn nhất của \(x\) là \( - 3\).

Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \(x\) là \(3\).

\( \Rightarrow \) Tích của chúng là \(3.\left( { - 3} \right) =  - 9\).

Chọn D.

Quan sát đồ thị, ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác \(OABCD\)).

Khi đó, ta có các đỉnh \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {1;\,\,0} \right),\,\,B\left( {4;\,\,3} \right),\)\(C\left( {2;\,\,4} \right),\,\,D\left( {0;\,\,4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;\,\,0} \right) = 0\\F\left( {1;\,\,0} \right) = 1\\F\left( {4;\,\,3} \right) = 10\\F\left( {2;\,\,4} \right) = 10\\F\left( {0;\,\,4} \right) = 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow M = 10\end{array}\)

Chọn A.

Vì \(I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a > 0\) thuộc đường thẳng \({d_1}\) nên \(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\left( { - a;\,\,3a - 1} \right)\) đến đường thẳng \({d_2}:\,\,x + y - 2 = 0\) là:

\(d\left( {I,\,\,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| { - a - 3a - 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right),\,\,A\left( {2;\,\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}} \)

Vì đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) nên \(IA = d\left( {I,\,\,{d_2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}}  = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + a} \right)^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 4 + 4a + {a^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 8 + 8a + 20{a^2} = 16{a^2} + 24a + 9\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16a - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\a = \dfrac{{4 - \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2} \in \left( {4;\,\,5} \right)\end{array}\)

Chọn B.