Đề thi thử giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 05

Nếu \(a = 0\) và \(b \le 0\) thì bất phương trình vô nghiệm.

Chọn B.

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\), ta có:

+) VTPT \({\vec n_d} = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow \vec u = \left( {b;\,\, - a} \right)\,\) là VTCP của \(\left( d \right)\)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(1\) đúng

+) Nếu \(b = 0\) đường thẳng \(\left( d \right)\) trở thành \(ax + c = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{c}{a}\)

\( \Rightarrow \) \(x =  - \dfrac{c}{a}\) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung.

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(2\) sai

+) VTPT \({\vec n_d} = \left( {a;\,\,b} \right)\)\( \Rightarrow k{\vec n_d} = \left( {ka;\,\,kb} \right)\,,\)\(\forall k \ne 0\)cũng là VTPT của \(\left( d \right)\)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(3\) sai

+) Nếu \(b \ne 0\) ta có: \(ax + by + c = 0\)\( \Rightarrow y =  - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc là \(k - \dfrac{a}{b}\).

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(4\) đúng

Vậy có \(2\) mệnh đề sai.

Chọn B.

Phương trình tham số đường thẳng đi qua \(M\left( {3;\,\,4} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\vec u\left( {1;\,\, - 2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\)

Chọn B.

Đặt \(f\left( x \right) = ax + b\) là hàm số cần tìm.

Quan sát bảng xét dấu ta thấy, hàm số có nghiệm là \(x = 2\).

\( \Rightarrow \) Đáp án C và đáp án D sai.

Trong khoảng \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = ax + b\) mang dấu \( - \) nên \(a < 0\).

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng và đáp án B sai.

Chọn A.

+) \(\left\{ \begin{array}{l}a > b > 0\\c > d > 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ac > bd\)

 \( \Rightarrow \)  Đáp án A đúng.

+) Chọn \(a = 5,\,\,b = 4,\,\,c = 3,\,\,d = 1\) thỏa mãn \(a > b > 0,\,\,c > d > 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}5 > 4 > 0\\3 > 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 5 - 3 > 4 - 1\) (vô lý)

 \( \Rightarrow \)  Đáp án B sai.

+) \(a > b > 0 \Rightarrow {a^2} > {b^2}\) (vì hai vế của bất đẳng thức luôn dương nên khi bình phương hai vế thì dấu của bất đẳng thức không đổi chiều)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) \(\left\{ \begin{array}{l}a > b > 0\\c > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow ac > bc\) (nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a > b\) với một số \(c > 0\) thì dấu của BĐT không đổi chiều)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn B.

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) ta có:

\(m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m_c^2 = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 4m_c^2\end{array}\)

Mà \(a = 4,\,\,b = 6,\,\,{m_c} = 4\) nên ta có: \({c^2} = 2\left( {{4^2} + {6^2}} \right) - {4.4^2} = 40\)

\( \Rightarrow c = \sqrt {40}  = 2\sqrt {10} \)

Chọn A.

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - A} \right){x^2} + \left( {4 - 3A} \right)x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

\(\begin{array}{l}\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - 3A} \right)^2} \\- 4.\left( {1 - A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right)\\ - \left( {4 - 4A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right)\\ - \left( {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 \\+ 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0\\\, \Leftrightarrow  - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0\\\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0\\\, \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {3A - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le A \le 2\end{array}\)

+) \(A \ge \dfrac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \dfrac{2}{3}\)

\(A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 3\)

+) \(A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2\)

\(A = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy \(Min\,f\left( x \right) = Min\,A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x =  - 1\); \(Max\,f\left( x \right) = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

\(M + m = \dfrac{8}{3}\)\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) sai.

\(Mm = \dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\)  sai.

\(\dfrac{M}{m} = 3\)\( \Rightarrow \) Đáp án \(C\)  sai.

\(M - m = \dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow \) Đáp án\(D\) đúng.

Chọn D.

Vì \(\Delta  = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2}\) mà \(a < 0\) nên \(f\left( x \right) = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} \le 0\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{b}{{2a}}\).

Do đó, \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ { - \dfrac{b}{{2a}}} \right\}\)

Chọn A.

Nếu \(m > 0,\,\,n < 0\) thì \(m > n\).

+) Xét đáp án A:

\( - m >  - n \Leftrightarrow m < n\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\)sai.

+) Xét đáp án B:

\(mn > 0 \Rightarrow \)\(m\) và \(n\) cùng dấu (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai.

+) Xét đáp án C:

Chọn \(m = 3 > 0,\,\,n =  - 4 < 0 \Rightarrow 3 >  - \left( { - 4} \right)\) hay \(3 > 4\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(C\) sai.

+) Xét đáp án D:

\(n - m < 0 \Leftrightarrow m > n\) (thỏa mãn đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(D\) đúng.

Chọn D.

\(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow {\vec u_{{d_1}}} = \left( {2;\,\,1} \right)\)

\(\left( {{d_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow {\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 3;\,\,1} \right)\)

\({\rm{cos}}\left( {{d_1},{d_2}} \right) = {\rm{cos}}\left( {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{5}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \left( {{d_1},\,\,{d_2}} \right) = {45^0}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng trên bằng \({45^0}\).

Chọn A.

+) Xét đáp án A:

\({a^3} > {a^2} \Leftrightarrow {a^3} - {a^2} > 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {a - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 0\\a - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a > 1\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\)sai.

+) Xét đáp án B:

\(a > \dfrac{1}{a}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - 1}}{a} > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 > 0\\a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 < 0\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 1\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < a < 1\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\ - 1 < a < 0\end{array} \right.\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\)sai.

+) Xét đáp án C:

\(\dfrac{1}{a} > \sqrt a \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - a\sqrt a }}{a} > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a\sqrt a  < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\left( {a\sqrt a } \right)^2} < {1^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^3} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < a < 1\) (thỏa mãn đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(C\) đúng.

+) Xét đáp án D:

\(a > \sqrt a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} > a\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a\left( {a - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a > 1\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(D\) sai.

Chọn C.

Hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) xác định khi và chỉ khi \(5 - 4x - {x^2} \ge 0\).

Ta có bảng xét dấu:

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) là \(\left[ { - 5;\,\,1} \right]\).

Chọn C.

Theo đề bài, ta có:

\({b^2} = {a^2} + {c^2} + ac\) \( \Rightarrow {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right).ac\)\( \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

Mà \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)\( \Rightarrow \cos B =  - \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \angle B = {120^0}\).

Chọn D.

Áp dụng công thức tính diện tích, ta có:

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\)\( = \dfrac{1}{2}.12.8.\sin {30^0} = 24\)

Chọn D.

ĐKXĐ: \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\x \ne  - 3\end{array} \right.\)

\(\dfrac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow x \in \left( { - 3;\,\, - 2} \right) \cup \left[ { - 1;\,\,1} \right]\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}\).

Vậy phương trình có \(3\) nghiệm nguyên.

Chọn B.

Đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) \( \Rightarrow VTCP\,{\mathop u\limits^ \to  _d} = \left( {1; - 2} \right)\) \( \Rightarrow VTPT\,\,{\vec n_d} = \left( {2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \,\,\)Miền nghiệm không bị gạch biểu diễn BPT \(2x + y + 2 \le 0\)

Chọn B.

\(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;\, - 2} \right) = \left( {2;1} \right)\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3;\,\,4} \right)\) có VTPT \({\vec n_{AB}} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\) là :

\(\begin{array}{l}1.\left( {x - 3} \right) - 2.\left( {y - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 3 - 2y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\end{array}\)

Chọn C.

Hàm số \(y = \sqrt {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4} \) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 16\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\4{m^2} - 8m - 12 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\ - 1 \le m \le 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 < m \le 3\end{array}\)

Chọn D.

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 6 < 0\\mx + m - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\mx \ge 1 - m\end{array} \right.\)

TH1: \(m = 0\)

Hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\0 \ge 1\end{array} \right.\)  (vô lý)

\( \Rightarrow \) Hệ bất phương trình vô nghiệm với \(m = 0\)

TH2: \(m \ne 0\)

Hệ bất phương trình trở thành  \(\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\mx \ge 1 - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ge \dfrac{{1 - m}}{m}\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - m}}{m} \ge 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 3m}}{m} \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 3m \ge 0\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 3m \le 0\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{3}\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{1}{3}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m \le \dfrac{1}{3}\).

Kết hợp 2 trường hợp ta được: \(0 \le m \le \dfrac{1}{3}\)

Chọn A.

+) Với \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 1;\,\,4} \right)\) bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 1} \right) + 3.4 - 1 > 0\\5.\left( { - 1} \right) - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 > 0\\ - 5 < 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(\left( { - 1;\,\,4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)

+) Với \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 2;\,\,4} \right)\) bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 2} \right) + 3.4 - 1 > 0\\5.\left( { - 2} \right) - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 > 0\\ - 10 < 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)

+) Với \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,0} \right)\) bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.0 - 1 > 0\\5.1 - 0 + 4 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\9 < 0\end{array} \right.\)(vô lý)

\( \Rightarrow \) Điểm \(\left( {1;\,\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)

+) Với \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 3;\,\,4} \right)\) bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3} \right) + 3.4 - 1 > 0\\5.\left( { - 3} \right) - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 > 0\\ - 15 < 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(\left( { - 3;\,\,4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)

Chọn C.

\(\begin{array}{l}x\left( {3 - x} \right) \ge x\left( {7 - x} \right) - 6\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - {x^2} \ge 7x - {x^2} - 6x + 6\\ \Leftrightarrow 3x - 7x + 6x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x \ge 6\\ \Leftrightarrow x \ge 3\end{array}\)

 Kết hợp điều kiện đề bài \(x \in \left[ { - 6;\,\,6} \right]\)\( \Rightarrow x \in \left[ {3;6} \right]\).

Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn \(\left[ { - 6;\,\,6} \right]\) là: \(3 + 4 + 5 + 6 = 18\)

Chọn B.

+) Với \(m = 0\), phương trình trở thành \(3 = 0\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2m{x^2} - 2mx + 3 = 0\) vô nghiệm khi \(m = 0\) \(\left( 1 \right)\)

+) Với \(m \ne 0\):

Phương trình \(2m{x^2} - 2mx + 3 = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 24m < 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {m - 6} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6\) \(\left( 2 \right)\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta được: \(0 \le m < 6\)

Chọn D.

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

TH1: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\)

\( \Rightarrow \left| {x + 1} \right| = x + 1\)

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm BPT}\nolimits}  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 8 < 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < x < 2\\x >  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 < x < 2\end{array}\)

TH2: \(x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1\)

\( \Rightarrow \left| {x + 1} \right| =  - \left( {x + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm BPT}\nolimits}  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{ - \left( {x + 1} \right)}} < 0\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 8 < 0\\x + 1 < 0\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < x < 2\\x <  - 1\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow  - 4 < x <  - 1\end{array}\)

Kết hợp \(2\) trường hợp trên, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 4;\,\, - 1} \right) \cup \left( { - 1;\,\,2} \right)\).

Chọn B.

\(A\left( { - 1;\,\,6} \right),\,\,B\left( {0;\,\,2} \right),\,\,C\left( {1;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là VTPT của đường thẳng \(AH\) suy ra \({\vec n_{AH}} = \overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Vì \(BK \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AC} \) là VTPT của đường thẳng \(BK\) suy ra \({\vec n_{BK}} = \overrightarrow {AC}  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \cos \left( {{{\vec n}_{AH}},\,\,{{\vec n}_{BK}}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AH}}.{{\vec n}_{BK}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AH}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{BK}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {1.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt {50} }} = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}\)

Chọn D.

*) Xét đáp án A

\({x^2}\left( {x + 2} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x + 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x <  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x <  - 2\)

\(x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - 2\)

\( \Rightarrow \) Cặp bất phương trình \({x^2}\left( {x + 2} \right) < 0\) và \(x + 2 < 0\) tương đương.

*) Xét đáp án B

\(2{x^2}\left( {x + 1} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} \ge 0\\x + 1 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \le  - 1\end{array} \right.\)

\(x + 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le  - 1\)

\( \Rightarrow \) Cặp bất phương trình \(2{x^2}\left( {x + 1} \right) \le 0\) và \(x + 1 \le 0\) không tương đương 

*) Xét đáp án C:

ĐKXĐ: \(x \ge 1\)

Vì \(x \ge 1 \Leftrightarrow 2x \ge 2\)\( \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 1 > 0\).

 Khi đó, ta có:

\(\left( {2x - 1} \right)\sqrt {x - 1}  \ge x\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  \ge x\)

\( \Rightarrow \) Cặp bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  \ge x\) và \(\left( {2x - 1} \right)\sqrt {x - 1}  \ge x\left( {2x - 1} \right)\) tương đương

*) Xét đáp án D:

\(2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} < \dfrac{1}{{x - 2}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\2x + 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x <  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x <  - \dfrac{1}{2}\)

\(2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Cặp bất phương trình \(2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} < \dfrac{1}{{x - 2}}\)và \(2x + 1 < 0\) tương đương.

Chọn B.

Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là trung điểm của \(AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{1 + 3}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{ - 2 + 6}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2\\{y_M} = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\,\,2} \right)\end{array}\)

\(A\left( {1;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {3;\,\,6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,8} \right)\)

Giả sử \(d\) là đường trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow \) \(d\) đi qua \(M\left( {2;\,\,2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,8} \right)\) là VTPT.

\( \Rightarrow \) PTTQ của \(d\) là: \(2.\left( {x - 2} \right) + 8.\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 10 = 0\)

Chọn C.

ĐKXĐ: \(5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5\)

\(\dfrac{{\left| {{x^2} - 8x + 12} \right|}}{{\sqrt {5 - x} }} > \dfrac{{{x^2} - 8x + 12}}{{\sqrt {5 - x} }}\)      

\( \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 8x + 12} \right| > {x^2} - 8x + 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 2 < x < 6\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {2;\,\,5} \right)\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {3;\,\,4} \right\}\).

Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên âm.

Chọn D.

Bất phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1 \le 0\) có nghiệm với mọi \(x \in R\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

+) \(a < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

+) \(\Delta  \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} - 4} \right).1 \le 0 \\\Leftrightarrow  - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{ - 10}}{3}\\m \ge 2\end{array} \right.\)

Vậy không có giá trị của \(m\) để bất phương trình có nghiệm với mọi \(x \in R\).

Chọn A.

Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right)\): \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Giải \(\left( 2 \right)\):

\(\begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) \\- \left( {4m - 4} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m \\+ 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow  - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}\)

Giải \(\left( 3 \right)\):

\(\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 4\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 4 \right)\):

\(\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Kết hợp cả \(4\) điều kiện ta được \(m <  - 4\) hoặc \(1 < m < 5\).

Chọn A.

\(\left( {{d_1}} \right):\,\,2x - y + 1 = 0\), \(\left( {{d_{^2}}} \right):\,\,x - y + 2 = 0\), \(\left( {{d_{^3}}} \right):\,\,\left( {1 + {m^2}} \right)x - y + 2m - 1 = 0\)

Gọi \(\left( {{d_1}} \right) \cap \left( {{d_2}} \right) = A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\). Tọa độ điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} + 1 = 0\\{x_A} - {y_A} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} =  - 1\\{x_A} - {y_A} =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,3} \right)\end{array}\)

Để \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right),\,\,\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy thì \(A\left( {1;\,\,3} \right) \in \left( {{d_3}} \right):\left( {1 + {m^2}} \right)x - y \)\(+ 2m - 1 = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + {m^2}} \right).1 - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + {m^2} - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\).

Chọn A.

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right)\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} - \cot {72^0}\cot {18^0}\\P = \dfrac{{ - \left( {\tan {{46}^0} + \tan {{46}^0}} \right)\sin {{316}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} - \cot {72^0}\tan {72^0}\\P =  - \left( {\tan {{46}^0} + \tan {{46}^0}} \right)\tan {316^0} - 1\\P =  - 2\tan {46^0}\tan {136^0} - 1\\P = 2\tan {46^0}\tan {44^0} - 1\\P = 2\tan {46^0}\cot {46^0} - 1\\P = 2 - 1 = 1\end{array}\)

Vậy \(P = 1\).

Chọn A.

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x = {t^2} - 1\\ \Rightarrow x\left( {x - 1} \right) = {t^2} - 1\end{array}\)

Bất phương trình trở thành:

 \(2\left( {{t^2} - 1} \right) + 1 > t \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t <  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\\t > 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1}  > 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 > 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x > 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 1\)

\( \Rightarrow P = a.b = 0.1 = 0\)

Chọn A.

\(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm T鈓}\nolimits} \,I\left( { - 1;\,\,2} \right)\\R = 2\end{array} \right.\)

Giả sử đường thẳng \(d'\,\) song song với \(d:3x - y + 2 = 0\) có dạng \(3x - y + c = 0\)

Vì dây cung có độ dài lớn nhất là đường kính nên \(d'\,\) đi qua tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I,\,\,d'} \right) = 0\)\( \Rightarrow 3.\left( { - 1} \right) - 2 + c = 0\)\( \Leftrightarrow c = 5\)

Vậy \(d':\,\,3x - y + 5 = 0\).

Chọn A.

Gọi \(d':y = kx + a\) là đường thẳng cần tìm.

Vì \(d'\) đi qua \(A\left( {0;\,\,1} \right)\) nên ta có: \(1 = k.0 + a \Leftrightarrow a = 1\)

Ta có:

\(d:3x - 2y - 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_d} = \left( {3;\,\, - 2} \right)\)

\(d':kx - y + 1 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{d'}} = \left( {k;\,\, - 1} \right)\)

Theo đề bài, ta có:

\(\cos \left( {d,\,\,d'} \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {3.k + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {3.k + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{k^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {3k + 2} \right|}}{{\sqrt {13\left( {{k^2} + 1} \right)} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13{k^2} + 13}}\\ \Leftrightarrow 26{k^2} + 26 = 36{k^2} + 48k + 16\\ \Leftrightarrow 10{k^2} + 48k - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k + 5} \right)\left( {5k - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k + 5 = 0\\5k - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 5\\k = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

\(\begin{array}{l}P = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = \left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \right) + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\sin ^4}\alpha  - {\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} - 3{\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P =  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1 - P = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi :

 \(\begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4.\left( { - \dfrac{3}{4}} \right).\left( {1 - P} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3 - 3P \ge 0\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{{{m^2} + 3}}{3}\end{array}\)

Chọn C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 1.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = \left( {x + y} \right).\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = 1 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} + 4 = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là hai số thực dương nên \(\dfrac{{4x}}{y},\,\,\dfrac{y}{x}\)dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\dfrac{{4x}}{y}\) và \(\dfrac{y}{x}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2.\sqrt {\dfrac{{4x}}{y}.\dfrac{y}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 4\\ \Leftrightarrow 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 9\\ \Leftrightarrow S \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} = \dfrac{y}{x}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = y\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min S = 9\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3};\,y = \dfrac{2}{3}\).

Chọn B.

\(\begin{array}{l}{x^4} - 1 > {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^4} > {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} > {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - {\left( {x + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 > 0\left( {do{x^2} + x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\end{array}\)

Ta lại có: \(\left| x \right| \le 2019\) nên \( - 2019 \le x \le 2019\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\).\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 2019;\, - 2018; \ldots ; - 1;2; \ldots ;2018;2019} \right\}\)

Do đó, số nghiệm nguyên của bất phương trình là: \(2019 + 2018 = 4037\) (phần tử)

Chọn C.

Đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BN}} = \left( {2;\,\,9} \right)\).

Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).

\( \Rightarrow \cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {9^2}} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)  \(\left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có:

\(B{N^2} = B{M^2} + M{N^2}\)\( = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} = \dfrac{5}{4}A{B^2}\)\( \Rightarrow BN = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}AB\)

\(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB}}{{AB.\sqrt {\dfrac{5}{4}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)  và \(\left( 2 \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2u + 9v} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2u + 9v} \right)^2} = 17\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 36uv + 81{v^2} = 17{u^2} + 17{v^2}\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 36uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 52uv + 16uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13u\left( {u - 4v} \right) + 16b\left( {u - 4v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 4v} \right)\left( {13u + 16v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - 4v = 0\\13u + 16v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\13u =  - 16v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 1: \(u = 4v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {4v;\,\,v} \right) = \left( {4;\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l}4.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + y = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow a =  - 1,\,b = 4\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {4^2} = 17\)

Trường hợp 2: \(u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v;\,\,v} \right)\)\( = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l} - \dfrac{{16}}{{13}}.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y = \dfrac{{34}}{{13}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{5}\\y = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Loại

Chọn C.

\(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow  - 8 < x < 8\) hay \(x \in \left( { - 8;\,\,8} \right)\).

Bất phương trình \(mx + 4 > 0\) có nghiệm đúng với \(\forall x \in \left( { - 8;\,\,8} \right)\) khi và chỉ khi đồ thị của hàm số \(y = mx + 4\) trên khoảng \(\left( { - 8;\,\,8} \right)\) nằm ở phía trên trục hoành và hai đầu mút của đoạn thẳng cũng nằm phía trên trục hoành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8m + 4 \ge 0\\8m + 4 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{2}\\m \ge  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{2}} \right]\).

Chọn D.

\(\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\end{array}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}x{}^2 + {y^2} = x + y + xy\\ \Leftrightarrow x + y = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy \ge {\left( {x + y} \right)^2} - \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow x + y \ge \dfrac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + y} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 4\\ \Leftrightarrow 0 \le S \le 4\end{array}\)

Chọn D.