Đề thi thử giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 04

Câu (1) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.

Câu (2), câu (3) không là mệnh đề vì đây là các câu cảm thán và câu hỏi, không xác định tính đúng sai.

Câu (4) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

Vậy trong các câu đã cho có 2 câu là mệnh đề.

Đáp án đúng là: B

Phủ định của ∀ là ∃;

Phủ định của > là ≤.

Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x – 2 > 5” là mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”.

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = {n ∈ ℕ| 3 < n < 8}.

Khi đó tập hợp A gồm các phần tử là các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 8, đó là các số: 4, 5, 6, 7.

Vậy ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử ta được:

A = {4; 5; 6; 7}.

Đáp án đúng là: D

Tập hợp B gồm các phần tử, 3, 6, 9, 12, 15, đây đều là các số tự nhiên chia hết cho 3, ta viết các số này dưới dạng 3n, n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5.

Vậy ta viết tập hợp B dưới dạng nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp ta được:

B = {n | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5}.

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn các tập hợp A và B như sau:

Khi đó ta xác định được:

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B} = (– 3; – 2];

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B} = (– ∞; – 3];

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = (– ∞; 5];

B \ A = {x | x ∈ B và x ∉ A} = (– 2; 5].

Vậy mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: H = {n ∈ ℕ | n là bội của 2 và 3} nên H là tập hợp bội chung (là số tự nhiên) của 2 và 3, do đó mọi phần tử của H đều chia hết cho BCNN(2, 3), mà BCNN(2, 3) = 6. Vậy mọi phần tử của tập H đều chia hết cho 6.

Lại có: K = {n ∈ ℕ | n là bội của 6} nên K là tập hợp các bội (là số tự nhiên) của 6 hay mọi phần tử của tập K đều chia hết cho 6.

Do vậy, H = K.

Khi đó các mệnh đề H = K, K ⊂ H, H ⊂ K đều đúng.

Vậy mệnh đề ở đáp án C là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: C

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Trong các số 12, 9, 4, 5, chỉ có số 5 là số nguyên tố.

Vậy mệnh đề “5 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: D

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “tam giác ABC cân thì tam giác đó có 2 cạnh bằng nhau” là mệnh đề “tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân”. Đây là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 2 và 3 thì số tự nhiên a chia hết cho 6”. Đây là mệnh đề đúng vì BCNN(2, 3) = 6.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD” là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có AB song song với CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành”. Đây là mệnh đề sai vì nếu tứ giác ABCD có AB // CD thì tứ giác ABCD mới là hình thang, cần thêm điều kiện AB = CD nữa thì tứ giác ABCD mới là hình bình hành.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì \(\hat A = \hat B = \hat C = 90^\circ \) là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có \(\hat A = \hat B = \hat C = 90^\circ \)$$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Vậy trong các mệnh đề đã cho, mệnh đề ở đáp án C có mệnh đề đảo sai.

Đáp án đúng là: C

+) Bất phương trình ở đáp án A không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn x có bậc là 2.

+) Bất phương trình ở đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa tích xy.

+) Bất phương trình ở đáp án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì 3²x + 2³y = 9x + 8y, khi đó bất phương trình đã cho trở thành 9x + 8y ≥ 3, có dạng ax + by ≥ c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 

+) Bất phương trình ở đáp án D không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn y có bậc là 3.

Đáp án đúng là: C

+) Thay x = 5, y = 1 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 5 + 2 . 1 = 17 > 10.

Do đó, điểm (5; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 4, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 4 + 2 . 2 = 16 > 10.

Do đó, điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 5 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 5 = 13 > 10.

Do đó, điểm (1; 5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 2 = 7 < 10.

Do đó, điểm (1; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = 180^\circ \)

Suy ra: \(\hat C = 180^\circ  - \hat A - \hat B = 180^\circ  - 35^\circ  - 25^\circ  = 120^\circ \)

Áp dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:

cosC = cos120° = \(- \frac{1}{2}\). 

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác EFG, ta có:

EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosG.

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p = (BC + AC + AB) : 2 = (6 + 7 + 8) : 2 = \(\frac{{21}}{2}\). 

Diện tích của tam giác ABC là:

S = \(\sqrt {p\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - AB} \right)} \)  (công thức Hê-rông)

\(\begin{array}{l}
 = \sqrt {\frac{{21}}{2}.\left( {\frac{{21}}{2} - 6} \right).\left( {\frac{{21}}{2} - 7} \right).\left( {\frac{{21}}{2} - 8} \right)} \\
 = \frac{{21\sqrt {15} }}{4}
\end{array}\) 

Lại có, S = pr với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Do đó, \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{21\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{{21}}{2}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\) 

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32\)

\(\Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\) 

Mặt khác: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\) 

\(\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (Vì sin A > 0).

Mà: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}b.c.\sin A = \frac{1}{2}a.{h_a}\) 

\(\Rightarrow {h_a} = \frac{{bc\sin A}}{a} = \frac{{7.5.\frac{4}{5}}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\). 

Đáp án đúng là: A

Ta có:

P(0) = 0² – 5 . 0 + 4 = 4;

P(1) = 1² – 5 . 1 + 4 = 0;

P(5) = 5² – 5 . 5 + 4 = 4;

\(P\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} - 5.\frac{4}{5} + 4 = \frac{{16}}{{25}}\) 

Vậy với x = 1 thì mệnh đề chứa biến P(x): “x² – 5x + 4 = 0” là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 4 \ge y\\
3x + 4y < 2
\end{array} \right.\;\) có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

S = 2 + sin² 90° + 2cos² 60° − 3tan² 45°

= 2 + (sin 90°)² + 2(cos 60°)² – 3(tan 45°)²

= 2 + 1² + 2.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)− 3.1² = \(\frac{1}{2}\). 

Đáp án đúng là: A

Các công thức tính diện tích tam giác ABC:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}c.{h_c} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{{abc}}{{4R}} = pr\) 

Do đó, đáp án A sai.

Đáp án đúng là: A

+ Lần lượt thay các cặp số (0; 0), (2; 3), (5; 4) vào các bất phương trình của hệ đã cho, ta thấy đều thỏa mãn, do đó (0; 0), (2; 3), (5; 4) là các nghiệm của hệ đã cho.

Vậy các điểm O, A, B thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
7x - 5y + 2 \ge 0\\
y - 2x - 5 < 0
\end{array} \right.\;\). 

+ Thay cặp số (−2 ; −2) vào bất phương trình thứ nhất của hệ ta được:

7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 ≥ 0 là mệnh đề sai (do 7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 = – 2 < 0).

Do đó (−2 ; −2) không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ nên nó không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy điểm C(−2 ; −2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Đáp án đúng là: D

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sin {{45}^0}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{60}^0}}} \Rightarrow AC = \frac{{7\sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề P ⇒ Q đúng thì ta nói P là điều kiện đủ để có Q.

Do đó, ta phát biểu mệnh đề “nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1” bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” như sau: “a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy phần không bị gạch là phần phía bên phải của điểm 1 trên trục số, bao gồm cả điểm 1 (do có dấu “[”), do đó phần không bị gạch biểu diễn các số thực x sao cho x ≥ 1, do đó phần không bị gạch trên hình vẽ minh họa cho tập hợp [1; + ∞).

Đáp án đúng là: C

Áp dụng mối liên hệ hai góc bù nhau, ta có:

sin α = sin β; cos α = – cos β; tan α = – tan β; cot α = – cot β.

Vậy đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: C­_BA = B \ A = {x| x ∈ B, x ∉ A} = {3; 5; 7; 8}.

Các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A là: 3; 5; 7; 8.

Vậy C­_BA = {3; 5; 7; 8}.

Đáp án đúng là: C

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 như sau:

+) Vẽ đường thẳng x + y = 2 đi qua 2 điểm (2; 0) và (0; 2) trên mặt phẳng tọa độ.

+) Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng x + y = 2.

+) Ta có: 0 + 0 = 0 < 2.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 2 chứa điểm O (là phần tô đậm ở đáp án A).

Đáp án đúng là: A

Theo hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

cosB = \(\frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\) 

Do MC = 2MB => MB = \(\frac{1}{3}\)BC = \(\frac{1}{3}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ . 6 = 2.

Theo định lí côsin trong tam giác AMB, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.cosB = 4² + 2² – 2.4.2.\(\frac{1}{2}\) = 12

=> AM = \(2\sqrt 3 \). 

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin α + cos α = 1

⇒ (sin α + cos α)² = 1²

⇔ sin² α + 2 sin α . cos α + cos² α = 1

Mà sin² α + cos² α = 1. Do đó, sin α . cos α = 0.

Từ đó suy ra sin α = 0 hoặc cos α = 0.

Lại có 0° < α < 180°, do đó sin α ≠ 0.

Vậy cos α = 0. Khi đó không tồn tại tan α.

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình đường thẳng d có dạng: y = ax + b.

Đường thẳng d đi qua điểm (1; 0) và (0; −2) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
0 = a + b\\
 - 2 = 0{\rm{a}} + b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 2
\end{array} \right.\)

Vậy d: y = 2x − 2  hay d: 2x  − y − 2 = 0.

Thay tọa độ điểm (0 ; 1) thuộc miền nghiệm (miền không bị gạch) vào biểu thức 2x – y – 2 ta được: 2 . 0 − 1 − 2 = −3 < 0.

Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x − y − 2 ≤ 0 hay 2x − y  ≤ 2.

Đáp án đúng là: A

Vì 0° < α < 180° và tan α = 13$\frac{1}{3}$ nên cos α ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của P cho cos α, ta được:

\(P = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 5\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha  + 3}}{{2\tan \alpha  - 5}} = \frac{{\frac{1}{3} + 3}}{{2.\frac{1}{3} - 5}} =  - \frac{{10}}{{13}}\) 

Đáp án đúng là: C

Trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy bơm loại A là x và số máy bơm loại B là y, do đó x ≥ 0, y ≥ 0.

Do tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 50 máy nên x + y ≤ 50.

Giá mỗi chiếc máy bơm A là 1 triệu đồng nên giá x chiếc máy bơm A là x triệu đồng, giá mỗi chiếc máy bơm B là 2 triệu đồng nên giá y chiếc máy bơm B là 2y triệu đồng. Mà số vốn ban đầu không vượt quá 100 triệu đồng nên x + 2y ≤ 100.

Vậy ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{y \ge 0}\\
{x + y \le 50}\\
{x + 2y \le 100}
\end{array}} \right.\)

+) Với x = 10 > 0, y = 20 > 0 thì x + y = 10 + 20 = 30 < 50 và x + 2y = 10 + 2. 20 = 50 < 100, do đó cặp số (10; 20) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

+) Với x = 50, y = 20 thì x + y = 50 + 20 = 70 > 50, do đó cặp số (50; 20) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy ta chọn đáp án A. 

Hướng N30°E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30° và tạo với hướng đông một góc 90° – 30° = 60°. Khi đó, ta có hình vẽ sau:

Với A là vị trí cảng, ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ ca nô đi được quãng đường là AB = 50 . 3 = 150 (km).

Tàu cá chạy theo hướng N30°E từ A đến C, sau 3 giờ tàu cá đi được quãng đường là AC = 40 . 3 = 120 (km).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB . AC . cos60°

= 1502 + 1202 – 2 . 150 . 120 . 12$\frac{1}{2}$ = 18 900

Suy ra BC = \(30\sqrt {21}  \approx 137,5\) (km).

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5 km.

Đáp án đúng là: C

+ Bất phương trình 2x – 3y < 12 có dạng ax + by < c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, đáp án A đúng.

+ Thay cặp số (5; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 5 − 3 . 3 < 12 ⇔ 1 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (5; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án B đúng.

+ Thay cặp số (9; 2) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 2 < 12 ⇔ 12 < 12 (vô lí)

Vậy cặp số (9; 2) không là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án C là sai.

+ Thay cặp (9; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 3 < 12 ⇔ 9 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (9; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin 15° = \(\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\), suy ra cos 15° = \(\sqrt {1 - {{\sin }^2}15^\circ }  = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\). 

Khi đó, x = sin 75° = sin (90° – 15°) = cos 15° = \(\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\). 

Và y = cos 105° = cos (180° – 75°) = – cos 75° = – cos (90° – 15°) = – sin 15°

\( =  - \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{4}\) 

Vậy P = x + y = \(\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). 

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y - 2x \le 2}\\
{2y - x \ge 4}\\
{x + y \le 5}
\end{array}} \right.\)

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta làm như sau:

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2.

- Vẽ đường thẳng d₁: y − 2x = 2 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 – 2 . 0 = 0 < 2 nên miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4.

- Vẽ đường thẳng d₂: 2y − x = 4 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 2 . 0 – 0 = 0 < 4 nên miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5.

- Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 = 0 < 5 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Đáp án đúng là: B

Đổi 1 tấn = 1 000 kg

Số gỗ để sản xuất x bàn là 30x (kg).

Số gỗ để sản xuất y ghế là 15y (kg)

Số gỗ để sản xuất x bàn và y ghế là 30x + 15y (kg)

Vì lượng bàn ghế mà công ty sản xuất không được vượt quá 1 tấn gỗ nên

30x + 15y ≤ 1 000.

Đáp án đúng là: B

Đáp án A là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai. Do đó không phải là mệnh đề.

Đáp án đúng là: A

Các tập con gồm {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1;3}; {2; 3}; {1; 2; 3}; .

Đáp án đúng là: A

Vì phần tử 2 vừa thuộc A vừa thuộc B nên A∩B = (2)

Đáp án đúng là: B

Ta có tập hợp A\B là tập các phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B nên (A\B)={0; 1}

Tập hợp B\A là tập các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A nên (B\A)={5;6}

⇒(A\B)∪(B\A)=(0; 1;5;6)$\left(\mathrm{}\right)$

Đáp án đúng là: D

Gọi A là tập hợp gồm các học sinh trong lớp; B là tập số học sinh giỏi Toán; C là tập số học sinh giỏi Văn; D là tập số học sinh không giỏi cả 2 môn Toán và Văn.

Khi đó n(B) = 16, n(C) = 12, n(B∩C) = 8, n(D) = 19.

Số học sinh trong lớp giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn là:

n(B∪C) = n(B) + n(C) - n(B∩C) = 16 + 12 – 8 = 20.

Ta có A = (B∪C) ∪ D

Số học sinh trong lớp là: n(A) = n(B∪C) + n(D) = 20 + 19 = 39 (học sinh).

Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:

Đáp án đúng là: C