Đề thi thử giữa học kỳ 1 môn Toán lớp 10 online - Mã đề 03

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≥ c (ax + by > c; ax + by < c; ax + by ≤ c) trong đó a, b, c là những hệ số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn. Khi đó ta có:

0x + 7y < 9 + 7y ⇔ 0x + 0y < 9 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì a và b đồng thời bằng 0.

\(\frac{1}{x} + y \le  - 10\) không có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

x2 – 2y < 0 là bất phương trình bậc hai.

\(\frac{1}{2}\)x + 0.y2 ≥ 5 – y ⇔ \(\frac{1}{2}\)x + y ≥ 5 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = \(\frac{1}{2}\), b = 1 và c = 5.

Đáp án đúng là D

Ta biểu diễn các tập hợp trên trục số như sau:

Vậy A ∩ B = (0; 5].

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, có:

\(\hat A + \hat B + \hat C = 180^\circ  \Rightarrow \hat B + \hat C = 180^\circ  - \hat A\) 

sin(B + C) = sin(180° – A) = sinA = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). 

Đáp án đúng là: A

M = sin75° + tan45° + cos165°

= sin75° + 1 + cos(180° – 15°)

= sin75° + 1 – cos15°

= sin75° + 1 – cos(90° – 75°)

= sin75° + 1 – sin75°

= 1.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABD, có AB = AD = 2a nên tam giác ABC cân tại A.

Ta lại có: \(\widehat {DAB} = 60^\circ \) nên ABC là tam giác đều.

Do đó AO = \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) 

Vì ABCD là hình thoi nên CO = AO = \(a\sqrt 3 \), AC = \(2a\sqrt 3 \),

Ta có:

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 \). Do đó A đúng.

\(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AO}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = a\sqrt 3 \). Do đó B sai.

\(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CO}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right| = a\sqrt 3 \). Do đó C đúng.

\(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2a\sqrt 3 \). Do đó D đúng.

Đáp án đúng là: B

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AB}  \ne \vec 0\). Do đó A sai.      

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \vec 0 = \overrightarrow {MA}  \ne \vec 0\) (vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\)). Do đó B sai.

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {{\rm{AA}}}  = \vec 0\). Do đó C đúng.    

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {AM}  \ne \vec 0\). Do đó D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC = 4, AD = BC = 5.

Xét tam giác BDC:

Áp dụng hệ quả của định lí cos, ta có:

cos C = \(\frac{{{4^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.4.5}} =  - \frac{1}{5}\). 

Mà \(\hat B + \hat C = 180^\circ \) 

⇒ cos B = – cosC = \(\frac{1}{5}\) 

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí cos ta được:

AC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosB

= 4² + 5² – 2.4.5.\(\frac{1}{5}\) 

= 33

⇒ AC = \(\frac{1}{5}\) ≈ 5,7.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC và AB = CD, AD = BC.

Do đó: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). 

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). Do đó A đúng.

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD}  \ne \overrightarrow {AC} \). Do đó B sai.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {BD} \). Do đó C sai.

\(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CD}  =  - \overrightarrow {DC} \). Do đó D sai.

Đáp án đúng là: A

Vì N ⊂ X nên X phải chứa phần tử của tập hợp N nên X có ít nhất ba phần tử là 3 ; 4 ; 5.

Mặt khác X ⊂ M và X có bốn phần tử nên ta có :

X = {1; 3; 4; 5} hoặc X = {2; 3; 4; 5}.

Vậy có hai tập hợp X thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 80^\circ }} = \frac{6}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{6.\sin 80^\circ }}{{\sin 45^\circ }} \approx 8,4\)

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{{x^2} + x - 12}}\) xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 \ge 0}\\
{{x^2} + x - 12 \ne 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge  - 2}\\
{x \ne 3}\\
{x \ne  - 4}
\end{array}} \right.\) 

Suy ra D = [– 2; +∞) \ {3}.

Do đó R\D = ( –∞; – 2). 

Đáp án đúng là: B

Câu A là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên không phải mệnh đề.

Đáp án đúng là: A

+) Cặp số (0; 0):

Thay x = 0 và y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta thấy đều thỏa mãn.

Do đó (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Cặp số (1; 1):

Thay x = 1 và y = 1 vào từng bất phương trình trong hệ ta thấy đều thỏa mãn.

Do đó (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Cặp số (– 1; 1):

Thay x = – 1 và y = 1 vào từng bất phương trình trong hệ ta thấy cặp số không thỏa mãn  bất phương trình 2x – 3y > – 2.

Do đó (– 1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Cặp số (– 1; – 1):

Thay x = – 1 và y = – 1 vào từng bất phương trình trong hệ ta thấy đều thỏa mãn.

Do đó (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Xét tam giác ABC, có: AM = \(\frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \) 

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

Đáp án đúng là: C

Tập hợp A gồm các số tự nhiên chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên A là tập các số chia hết cho 6.

Tập hợp B là tập gồm các số tự nhiên chia hết cho 12.

Mà các số chia hết cho 12 thì cũng chia hết cho 6, nhưng chia hết cho 6 chưa chắc chia hết cho 12. Do đó B ⊂ A.

Đáp án đúng là: B

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác OAB với A(2; 0), B(0; 1) và O (0; 0).

Đáp án đúng là: A

Với tam giác ABC các vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là ba đỉnh của tam giác là:

\(\overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {AC} ;\,\,\overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC} ;\,\,\overrightarrow {CA} ;\,\,\overrightarrow {CB} .\)

Vậy có tất cả 6 vectơ.

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình: 2x² – 5x – 7 = 0

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{7}{2}}\\
{x =  - 1}
\end{array}} \right.\)

⇒ \(A = \left\{ { - 1;\frac{7}{2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {BA} \). Do đó A sai.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {CA} \). Do đó B sai.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \). Do đó C đúng theo quy tắc 3 điểm.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {CB} \). Do đó D sai.

Đáp án đúng là: C

Cạnh BC là cạnh lớn nhất nên góc đối diện A cũng là góc lớn nhất trong tam giác.

Xét tam giác ABC:

Áp dụng hệ quả của định lí cos ta có:

cosA = \(\frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} =  - \frac{7}{{15}}\) 

⇒ \(\hat A \approx 118^\circ \) > 90°.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù với \(\hat A \approx 118^\circ \) 

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline {\rm{P}} \): “∀ x ∈ ℝ: 2x – 3 < 0”.

Đáp án đúng là: B

Phương án A: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau chưa chắc là hình vuông, vậy nên không thể là “điều kiện cần và đủ”, vậy đây là mệnh đề sai.

Phương án B: Tổng 2 số chia hết cho 7 thì chưa chắc 2 số đó đều chia hết cho 7 (Ví dụ 6 + 1 = 7 chia hết cho 7 nhưng 6 và 1 không chia hết cho 7), vậy khẳng định B sai.

Phương án C: Để ab > 0 thì điều kiện cần phải là a và b cùng dấu, như vậy khẳng định C sai.

Phương án D: Một số chia hết cho 9 thì suy ra số đó cũng chia hết cho 3, vậy một số nguyên dương chia hết cho 9 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 3, do đó khẳng định D đúng.

Đáp án đúng là: D

Giải phương trình x³ – 3x² + 2x = 0 ta được nghiệm là x = 0; x = 1; x = 2.

Vậy mệnh đề chứa biến: “x³ – 3x² + 2x = 0” đúng với giá trị x ∈ {0; 1; 2}.

Đáp án đúng là: D

“Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ”.

Cấu trúc Nếu A thì B, khi đó A là điều kiện đủ của B, B là điều kiện cần để có A.

Vậy điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.

Hoặc điều kiện cần để cả hai số a và b là số hữu tỉ là tổng a + b là số hữu tỉ.

Vậy phương án B là đúng.

Tập hợp {x; y} có ba tập con là: {x}, {y}, {x; y}, \(\emptyset \). Do đó A sai.

Tập hợp {x} có hai tập con là: {x}, \(\emptyset \). Do đó B đúng.

Tập hợp {\(\emptyset \); x} có bốn tập con là: {x}, {\(\emptyset \)}, {x; \(\emptyset \)}, \(\emptyset \). Do đó C sai.

Tập hợp {\(\emptyset \); y} có bốn tập con là: {\(\emptyset \)}, {y}, {\(\emptyset \); y}, \(\emptyset \). Do đó D sai.

Đáp án đúng là: B

Tập E ⊂ F thì tất cả phần tử trong E đều thuộc F.

Tập F ⊂ G thì tất cả phần tử trong F đều thuộc G.

Tập G ⊂ E thì tất cả phần tử trong G đều thuộc E.

Như vậy chỉ có khả năng tất cả phần tử trong 3 tập hợp như nhau, hay E = F = G.

Đáp án đúng là: D

Gọi A là tập hợp các học sinh của lớp 10A thích môn Toán và B là tập hợp các học sinh của lớp 10A thích môn Ngữ văn.

Số phần tử của A và B lần lượt là n(A) và n(B) nên n(A) = 20; n(B) = 18.

Ta có:

+) Tập hợp số học sinh thích cả môn Toán và Ngữ văn là A ∩ B nên n(A ∩ B) = 10.

+) Tập hợp số học sinh chơi ít nhất 1 trong 2 môn Toán và Ngữ Văn là A ∪ B.

Nên tổng số học sinh thích ít nhất một trong hai môn đó là n(A ∪ B).

Suy ra n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ‒ n(A ∩ B) = 20 + 18 – 10 = 28.

Vậy có 28 học sinh chơi ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn.

Đáp án đúng là: A

Tập hợp M = A∪ B = {1; 2; 3; 7; 9; 10}. Vậy M có 6 phần tử.

Đáp án đúng là: D

Với A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6} ta có:

A\ B = {0; 1} và B\A = {5; 6}.

Vậy (A\B) ∩ (B\A) = ∅.

Đáp án đúng là: D

Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn tập hợp các điểm vừa thuộc A, thuộc B mà không thuộc C. Đó chính là tập (A ∩ B) \ C.

Đáp án đúng là: D

Câu A: 3x + 4y – z + 1 > 0 là bất phương trình bậc nhất 3 ẩn x, y, z nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu B: 2x – 2y – 1 > 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by + c > 0, a = 2, b = -2, c = -1.

Câu C: x2 + y < 3 là bất phương trình có chứa x2 nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu D: \(\frac{{3x}}{{4y}}\) - x > 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì không có dạng ax + by + c > 0.

Đáp án đúng là: B

Thay x = 2, y = 3 vào bất phương trình 2x + y – 1 < 0 ta có: 2.2 + 3 – 1 = 6 < 0 là mệnh đề sai, nên (2; 3) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay x = 1, y = 2 vào bất phương trình 2x + y – 1 < 0 ta có: 2. 1 + 2 – 1 = 3 < 0 là mệnh đề sai, nên (1; 2) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay x = 0, y = 1 vào bất phương trình 2x + y – 1 < 0 ta có: 2. 0 + 1 – 1 = 0 < 0 là mệnh đề sai, nên (0; 1) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay x = -1, y = 0 vào bất phương trình 2x + y – 1 < 0 ta có: 2. (-1) + 0 – 1 = -3 < 0 là mệnh đề đúng, nên (-1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta chọn phương án D.

Ta thấy đường thẳng ∆ cắt 2 trục tọa độ tại điểm A(0; 0,5) và B(-1; 0).

Câu A: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x + 2y – 2 = 0 ta có:

0 + 2. 0,5 – 2 = -1 = 0 là mệnh đề sai, vậy câu A sai.

Câu B: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình 3x + y – 2 = 0 ta có:

3. 0 + 0,5 – 2 = -1,5 = 0 là mệnh đề sai, Vậy câu B sai.

Câu C: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x - 2y + 1 = 0 ta có:

0 - 2. 0,5 + 1 = 0 = 0 là mệnh đề đúng;

Thay x = -1, y = 0 vào phương trình x - 2y + 1 = 0 ta có: -1 – 2. 0 +1 = 0 = 0 là mệnh đề đúng.

Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình x – 2y + 1 < 0 ta có 0 – 2.0 + 1 = 1 < 0 là mệnh đề sai.

Vậy điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình, nên miền nghiệm của bất phương trình x - 2y +1 > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x - 2y + 1 = 0 (không kể bờ) không chứa điểm O. Vậy C đúng.

Câu D: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x + 3y = 0 ta có 0 + 3. 0,5 = 1,5 = 0 là mệnh đề sai, vậy câu D sai.

Đáp án đúng là: C

Trên mặt phẳng toạ độ, đường thẳng d: x – 3y – 1 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Xét điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d. Ta thấy cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình x - 3y – 1 ≤ 0.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d (kể cả bờ d) chứa điểm O.

Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn x - 3y – 1 ≤ 0 có vô số nghiệm, vậy câu C đúng.

Xét cặp số (0; -1) ta thấy (0; -1) không là nghiệm của bất phương trình x - 3y – 1 ≤ 0 nên bất phương trình không thể có tập nghiệm R.

Ta chọn phương án C.

Thay x = - 4; y = - 5 vào bất phương trình đã cho ta có - 4 + 2. (-5) – 1 = -15 > 0 là mệnh đề sai, vậy A không thuộc miền nghiệm bất phương trình đã cho.

Thay x = 2; y = 3 vào bất phương trình đã cho ta có 2 + 2. 3 – 1 = 7 > 0 là mệnh đề đúng, vậy B thuộc miền nghiệm bất phương trình đã cho.

Thay x = -2; y = -1 vào bất phương trình đã cho ta có -2 + 2. (-1) – 1 = -5 > 0 là mệnh đề sai, vậy C không thuộc miền nghiệm bất phương trình đã cho.

Thay x = 0; y = -2 vào bất phương trình đã cho ta có 0 + 2. (-2) – 1 = -5 > 0 là mệnh đề sai, vậy D không thuộc miền nghiệm bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là: B

Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

Đáp án đúng là: C

Hai góc α và β (0° ≤ α, β ≤ 180°) là hai góc phụ nhau (do α + β = 90°) nên sinα = cosβ; cosα = sinβ.

Do đó, P = cosα.cosβ – sinβ.sinα = cosα. sinα – cosα.sinα = 0.

Vậy P = 0.

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có: sin(180° ‒ α) = sinα.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{5^2} + {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.5.5\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow \widehat A = 135^\circ .
\end{array}\)

Vậy \(\widehat A = 135^\circ \)$.$

Đáp án đúng là: D

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \frac{{{3^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2.3.4}} = \frac{7}{8}.\) 

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng

Đáp án đúng là: B